Uma amostra aleatória de alturas de 20 crianças resultou em:
a) Determine um intervalo de
de confiança para a mediana utilizando a distribuição binomial.
b) Idem ao item anterior, usando a distribuição normal.
c) Compare os intervalos e comente.
d) Obtenha um intervalo de
para o terceiro quartil da distribuição.
b) Idem ao item anterior, usando a distribuição normal.
c) Compare os intervalos e comente.
d) Obtenha um intervalo de
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de tamanho
das alturas de crianças e pede
- intervalo de
de confiança para a mediana usando distribuição binomial (não paramétrica); - mesmo intervalo usando aproximação normal assintótica para o estimador da mediana;
- comparação entre os dois intervalos;
- intervalo de
de confiança para o terceiro quartil ( -quantil) usando o método não paramétrico (binomial).
Para isso vamos ordenar a amostra, usar propriedades da distribuição binomial para quantis e a fórmula assintótica da variância da mediana.
Passo 2
Para o método não paramétrico da mediana usamos o fato de que, se
é a mediana verdadeira, então
. Queremos achar índices
e
tais que
Calculamos
Logo
e o intervalo é
Ordenando a amostra temos
Portanto o intervalo de
para a mediana é
Passo 3
Para a aproximação normal usamos que, sob condições regulares, a mediana amostral
é assintoticamente normal com
Estimamos
pela
amostral:
Logo
Com
, obtemos
isto é
Passo 4
Comparando:
- o intervalo não paramétrico é
, mais largo e totalmente baseado na ordem dos dados (sem suposições de forma); - a aproximação normal deu
, mais estreito mas que supõe simetria e densidade não nula na mediana; - o intervalo binomial é mais conservador e garante cobertura exata, enquanto o normal é apenas aproximado para
moderados.
Passo 5
Para o terceiro quartil
usamos o mesmo raciocínio com
. Definimos
tal que
:
logo
. Para a cauda superior escolhemos
tal que
:
resultando em
. O intervalo é
Resposta
a)
b)
c) O intervalo não paramétrico é mais conservador; o assintótico normal é mais estreito mas depende de suposições de forma.
d) Para ,
.
b)
c) O intervalo não paramétrico é mais conservador; o assintótico normal é mais estreito mas depende de suposições de forma.
d) Para