Uma amostra aleatória de alturas de 20 crianças resultou em:
\begin{array}{lllllllllllllllllll} 142 & 134 & 98 & 119 & 131 & 103 & 154 & 122 & 93 & 137 & 86 & 119 & 161 & 144 & 158 & 165 & 81 & 117 & 128 \end{array} 103
a) Determine um intervalo de 95 \% de confiança para a mediana utilizando a distribuição binomial.
b) Idem ao item anterior, usando a distribuição normal.
c) Compare os intervalos e comente.
d) Obtenha um intervalo de 95 \% para o terceiro quartil da distribuição.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=20 das alturas de crianças e pede
  1. intervalo de 95\% de confiança para a mediana usando distribuição binomial (não paramétrica);
  2. mesmo intervalo usando aproximação normal assintótica para o estimador da mediana;
  3. comparação entre os dois intervalos;
  4. intervalo de 95\% de confiança para o terceiro quartil ( 75\%-quantil) usando o método não paramétrico (binomial).
Para isso vamos ordenar a amostra, usar propriedades da distribuição binomial para quantis e a fórmula assintótica da variância da mediana.

Passo 2

Para o método não paramétrico da mediana usamos o fato de que, se M é a mediana verdadeira, então N=\#\{X_i\le M\}\sim\mathrm{Bin}(n,p=0,5). Queremos achar índices r e s tais que
P(r\le N\le n-r)\ge0,95 \quad\Longrightarrow\quad P(N<r)\le0,025.
Calculamos
P(N\le5)=\sum_{k=0}^5\binom{20}{k}2^{-20}\approx0,0207<0,025,
P(N\le6)\approx0,0577>0,025.
Logo r=6 e o intervalo é
\bigl[X_{(6)},\,X_{(20-6+1)}\bigr]=\bigl[X_{(6)},\,X_{(15)}\bigr].
Ordenando a amostra temos
X_{(1)}=81,\dots,X_{(6)}=103,\dots,X_{(15)}=142,\dots,X_{(20)}=165.
Portanto o intervalo de 95\% para a mediana é
[\,X_{(6)},X_{(15)}\,]=[103,\,142].

Passo 3

Para a aproximação normal usamos que, sob condições regulares, a mediana amostral \tilde m é assintoticamente normal com
\mathrm{Var}(\tilde m)\approx\frac{\pi\,\sigma^2}{2n}.
Estimamos \sigma pela s amostral:
\bar x=124,75,\quad s\approx25,17.
Logo
\widehat{\mathrm{SE}}(\tilde m) =s\sqrt{\frac{\pi}{2n}} =25,17\sqrt{\frac{\pi}{40}}\approx7,06.
Com z_{0,975}=1,96, obtemos
\tilde m\pm1,96\cdot7,06 =125\pm13,83
isto é
[\,111,17,\;138,83\,].

Passo 4

Comparando:
  • o intervalo não paramétrico é [103,142], mais largo e totalmente baseado na ordem dos dados (sem suposições de forma);
  • a aproximação normal deu [111,17,138,83], mais estreito mas que supõe simetria e densidade não nula na mediana;
  • o intervalo binomial é mais conservador e garante cobertura exata, enquanto o normal é apenas aproximado para n moderados.

Passo 5

Para o terceiro quartil Q_3 p=0,75 usamos o mesmo raciocínio com N\sim\mathrm{Bin}(20,0,75). Definimos r tal que P(N<r)\le0,025:
P(N\le11)\approx0,019<0,025,\quad P(N\le12)\approx0,060>0,025
logo r=12. Para a cauda superior escolhemos s tal que P(N\ge s)\le0,025:
P(N\le19)\approx0,981>0,975,\quad P(N\le18)\approx0,939<0,975
resultando em s=20. O intervalo é
\bigl[X_{(12)},\,X_{(20)}\bigr]=[131,\,165].

Resposta

a) [103,\,142]
b) [111,17,\,138,83]
c) O intervalo não paramétrico é mais conservador; o assintótico normal é mais estreito mas depende de suposições de forma.
d) Para Q_3, [131,\,165].

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