3.4 Uma companhia que fabrica máquinas de lavar, conduziu uma pesquisa com 500 donas de casa que compraram destas máquinas em um determinado ano. Apenas 150 destas donas de casa responderam à pesquisa e então a companhia resolveu enviar novo questionário para as outras 350 donas de casa que não haviam respondido ao primeiro. Destas, 200 responderam e a companhia
enviou ainda um terceiro questionário para as demais, obtendo outras 50 respostas. A companhia enviou então um representante às residências das 100 donas de casa restantes, conseguindo assim as 500 respostas que pretendia. Como resultado deste trabalho, a companhia suspeita que existe alguma associação entre o grau de satisfação da dona de casa e sua boa vontade em responder ao questionário. Com base nos dados abaixo, você diria que esta suposição faz sentido? Justifique sua resposta.
Satisfeita Indiferente Insatisfeita Total
Respondeu imediatamente 100 40 10 150
Respondeu segundo quest. 134 48 18 200
Respondeu terceiro quest. 21 20 9 50
Entrevista 45 42 13 100
Total 300 150 50 500

Passo 1

O enunciado nos dá uma pesquisa com 500 donas de casa e cruzamos duas variáveis categóricas:
– “Grau de satisfação” \text{Satisfeita}, \text{Indiferente}, \text{Insatisfeita};
– “Momento da resposta” \text{Imediata}, \text{2º questionário}ºá, \text{3º questionário}ºá, \text{Entrevista presencial}.
Queremos verificar se existe associação entre essas variáveis, isto é, testar a independência numa tabela 4\times3 usando o teste do qui-quadrado.

Passo 2

Montamos a tabela observada O_{ij} com os totais de linha e coluna:
Respondeu imediatamente (linha 1): \;O_{1,1}=100, \;O_{1,2}=40, \;O_{1,3}=10, total de linha n_1=150.
Respondeu no 2º questionário (linha 2): \;O_{2,1}=134, \;O_{2,2}=48, \;O_{2,3}=18, total n_2=200.
Respondeu no 3º questionário (linha 3): \;O_{3,1}=21, \;O_{3,2}=20, \;O_{3,3}=9, total n_3=50.
Entrevista presencial (linha 4): \;O_{4,1}=45, \;O_{4,2}=42, \;O_{4,3}=13, total n_4=100.
Totais de coluna: m_1=300 (satisfeita), m_2=150 (indiferente), m_3=50 (insatisfeita). Total geral N=500.

Passo 3

Sob a hipótese de independência, a frequência esperada é
E_{ij}=\frac{n_i\,m_j}{N}.
Calculando cada bloco temos:
Linha 1:
E_{1,1}=\frac{150\cdot300}{500}=90,\quad E_{1,2}=\frac{150\cdot150}{500}=45,\quad E_{1,3}=\frac{150\cdot50}{500}=15.
Linha 2:
E_{2,1}=\frac{200\cdot300}{500}=120,\quad E_{2,2}=\frac{200\cdot150}{500}=60,\quad E_{2,3}=\frac{200\cdot50}{500}=20.
Linha 3:
E_{3,1}=\frac{50\cdot300}{500}=30,\quad E_{3,2}=\frac{50\cdot150}{500}=15,\quad E_{3,3}=\frac{50\cdot50}{500}=5.
Linha 4:
E_{4,1}=\frac{100\cdot300}{500}=60,\quad E_{4,2}=\frac{100\cdot150}{500}=30,\quad E_{4,3}=\frac{100\cdot50}{500}=10.

Passo 4

O qui-quadrado fica
\chi^2 \;=\;\sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^3\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}.
Calculando por linha (valores aproximados):
Linha 1: \frac{(100-90)^2}{90}+\frac{(40-45)^2}{45}+\frac{(10-15)^2}{15}\approx1,11+0,56+1,67=3,34.
Linha 2: \frac{(134-120)^2}{120}+\frac{(48-60)^2}{60}+\frac{(18-20)^2}{20}\approx1,63+2,40+0,20=4,23.
Linha 3: \frac{(21-30)^2}{30}+\frac{(20-15)^2}{15}+\frac{(9-5)^2}{5}\approx2,70+1,67+3,20=7,57.
Linha 4: \frac{(45-60)^2}{60}+\frac{(42-30)^2}{30}+\frac{(13-10)^2}{10}\approx3,75+4,80+0,90=9,45.
Somando tudo:
\chi^2 \approx 3,34 + 4,23 + 7,57 + 9,45 = 24,59.

Passo 5

O número de graus de liberdade é
(df) = (4-1)\,(3-1) = 3\cdot2 =6.
Para \alpha=0,05, o valor crítico é
\chi^2_{0,05;6}\approx12,59.
Como \chi^2_{\text{calc}}=24,59>12,59, rejeitamos a hipótese de independência.

Passo 6

Rejeitar a independência significa que há evidência estatística de associação entre “grau de satisfação” e “prontidão em responder”. Na prática, donas de casa mais satisfeitas tendem a responder mais cedo, o que confirma a suspeita da companhia.

Resposta

Sim. O teste do qui-quadrado indicou \chi^2\approx24,59 com 6 graus de liberdade, excedendo o valor crítico 12,59, o que leva a rejeitar a independência e confirma associação entre satisfação e boa vontade em responder.

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