Uma amostra aleatória foi retirada de uma distribuição normal e os seguintes intervalos de confiança construídos usando os mesmos dados ( 38,02 ; 61,98 ) e ( 39,95 ; 60,05 ).
a) Qual é o valor da média da amostra?
b) Um desses intervalos é de \mathbf{9 5 \%} de confiança e o outro é de 90% de confiança. Qual deles é o de 95% de confiança e por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá dois intervalos de confiança construídos a partir da mesma amostra: (38,02; 61,98) e (39,95; 60,05). As perguntas são:
  • (a) Qual é o valor da média da amostra?
  • (b) Qual dos dois intervalos corresponde a 95\% de confiança e por quê?
Informações relevantes fornecidas:
  • Os dois intervalos foram construídos com os mesmos dados (logo a mesma média amostral e o mesmo erro padrão).
  • Os limites dos intervalos são, respectivamente, L_1=38,02, U_1=61,98 e L_2=39,95, U_2=60,05.

Passo 2

Como achar a média da amostra a partir de um intervalo de confiança: um intervalo de confiança para a média tem a forma geral
\bar{x}\pm\text{margem},
onde \bar{x} é a média amostral e a margem (meio do comprimento do intervalo) é simétrica em torno de \bar{x}. Portanto a média amostral é o ponto médio do intervalo, dado por
\bar{x}=\frac{L+U}{2},
onde L é o limite inferior e U o limite superior do intervalo. Vou aplicar isso aos intervalos dados (qualquer um dá o mesmo resultado porque foram feitos com os mesmos dados).

Passo 3

Calcular a média usando o primeiro intervalo (38,02;61,98):
\bar{x}=\frac{38,02+61,98}{2}=\frac{100,00}{2}=50.
Posso checar com o segundo intervalo (39,95;60,05):
\bar{x}=\frac{39,95+60,05}{2}=\frac{100,00}{2}=50.
Conclusão: a média amostral é \bar{x}=50. Força — já temos a parte (a).

Passo 4

Agora vou quantificar as “margens” (meio do comprimento) de cada intervalo, porque a comparação das margens nos diz qual intervalo é mais largo:
  • Meia-ampitude do primeiro intervalo:
m_1=\frac{61,98-38,02}{2}=\frac{23,96}{2}=11,98.
  • Meia-ampitude do segundo intervalo:
m_2=\frac{60,05-39,95}{2}=\frac{20,10}{2}=10,05.
Portanto, o primeiro intervalo é mais largo: m_1=11,98 e m_2=10,05.

Passo 5

Explicação didática do porquê o intervalo mais largo corresponde a maior nível de confiança:
  • A fórmula padrão (quando se usa a mesma estimativa do desvio) para um intervalo de confiança para a média é
\bar{x}\pm c_{\alpha/2}\cdot\mathrm{SE},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • \mathrm{SE} é o erro padrão da média (igual para ambos os intervalos, já que vêm dos mesmos dados);
  • c_{\alpha/2} é o quantil crítico (por exemplo, z_{\alpha/2} se usar aproximação normal ou t_{\alpha/2} se usar t de Student). Esse c_{\alpha/2} aumenta quando se pede maior confiança (por exemplo, para 95\% tem-se c maior do que para 90\%).
  • Como \mathrm{SE} é o mesmo para os dois intervalos, a margem de erro é proporcional a c_{\alpha/2}. Logo, o intervalo com margem maior foi gerado com um c_{\alpha/2} maior, isto é, com nível de confiança maior.

Passo 6

Aplicação numérica aos níveis comuns (caso normal aproximado): os valores críticos mais usados são
z_{0,025}=1,96\quad\text{(para }95\%\text{)}\qquad\text{e}\qquad z_{0,05}=1,645\quad\text{(para }90\%\text{)}.
A razão entre esses valores é
\frac{1,96}{1,645}\approx1,1915.
A razão entre as meias-ampitudes que calculamos é
\frac{m_1}{m_2}=\frac{11,98}{10,05}\approx1,1910,
que coincide (até arredondamento) com a razão dos z-valores. Isso confirma que o intervalo mais largo corresponde ao nível de confiança maior, isto é, 95\%.

Passo 7

Conclusão direta para a pergunta (b): entre (38,02;61,98) e (39,95;60,05), o intervalo (38,02;61,98) é o de 95\% de confiança porque é mais largo — com os mesmos dados, maior nível de confiança exige um quantil crítico maior e, portanto, margem de erro maior.

Resposta

(a) \bar{x}=50
(b) O intervalo (38,02;61,98) é o de 95\% de confiança, porque é mais largo (maior margem de erro), e com os mesmos dados maior confiança implica um fator crítico maior (por exemplo z_{0,025}=1,96 vs z_{0,05}=1,645).

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