Uma amostra aleatória foi retirada de uma distribuição normal e os seguintes intervalos de confiança construídos usando os mesmos dados ( 38,02 ; 61,98 ) e ( 39,95 ; 60,05 ).
a) Qual é o valor da média da amostra?
b) Um desses intervalos é de
de confiança e o outro é de 90% de confiança. Qual deles é o de 95% de confiança e por quê?
a) Qual é o valor da média da amostra?
b) Um desses intervalos é de
Passo 1
O enunciado nos dá dois intervalos de confiança construídos a partir da mesma amostra:
e
. As perguntas são:
- (a) Qual é o valor da média da amostra?
- (b) Qual dos dois intervalos corresponde a
de confiança e por quê?
Informações relevantes fornecidas:
- Os dois intervalos foram construídos com os mesmos dados (logo a mesma média amostral e o mesmo erro padrão).
- Os limites dos intervalos são, respectivamente,
, e , .
Passo 2
Como achar a média da amostra a partir de um intervalo de confiança: um intervalo de confiança para a média tem a forma geral
onde
é a média amostral e a margem (meio do comprimento do intervalo) é simétrica em torno de
. Portanto a média amostral é o ponto médio do intervalo, dado por
onde
é o limite inferior e
o limite superior do intervalo. Vou aplicar isso aos intervalos dados (qualquer um dá o mesmo resultado porque foram feitos com os mesmos dados).
Passo 3
Calcular a média usando o primeiro intervalo
:
Posso checar com o segundo intervalo
:
Conclusão: a média amostral é
. Força — já temos a parte (a).
Passo 4
Agora vou quantificar as “margens” (meio do comprimento) de cada intervalo, porque a comparação das margens nos diz qual intervalo é mais largo:
- Meia-ampitude do primeiro intervalo:
- Meia-ampitude do segundo intervalo:
Portanto, o primeiro intervalo é mais largo:
e
.
Passo 5
Explicação didática do porquê o intervalo mais largo corresponde a maior nível de confiança:
- A fórmula padrão (quando se usa a mesma estimativa do desvio) para um intervalo de confiança para a média é
onde:
-
é a média amostral; -
é o erro padrão da média (igual para ambos os intervalos, já que vêm dos mesmos dados); -
é o quantil crítico (por exemplo, se usar aproximação normal ou se usar de Student). Esse aumenta quando se pede maior confiança (por exemplo, para tem-se maior do que para ). - Como
é o mesmo para os dois intervalos, a margem de erro é proporcional a . Logo, o intervalo com margem maior foi gerado com um maior, isto é, com nível de confiança maior.
Passo 6
Aplicação numérica aos níveis comuns (caso normal aproximado): os valores críticos mais usados são
A razão entre esses valores é
A razão entre as meias-ampitudes que calculamos é
que coincide (até arredondamento) com a razão dos
-valores. Isso confirma que o intervalo mais largo corresponde ao nível de confiança maior, isto é,
.
Passo 7
Conclusão direta para a pergunta (b): entre
e
, o intervalo
é o de
de confiança porque é mais largo — com os mesmos dados, maior nível de confiança exige um quantil crítico maior e, portanto, margem de erro maior.
Resposta
(a)
(b) O intervalo é o de
de confiança, porque é mais largo (maior margem de erro), e com os mesmos dados maior confiança implica um fator crítico maior (por exemplo
vs
).
(b) O intervalo