Uma amostra aleatória de n itens é tomada de uma distribuição com media mu e variância sigma^2, 0. Utilizando o Teorema Central do Limite, determine o menor número de itens a serem considerados para que a seguinte elação seja satisfeita:
P[|Snn-mu| <= sigma4] >= 0,99

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma amostra aleatória de tamanho $ n $ tirada de uma distribuição com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. A gente vai usar o Teorema Central do Limite para descobrir o menor número de itens $ n $ que garante que a probabilidade de a média amostral $ \frac{S_n}{n} $ estar dentro de $ \frac{\sigma}{4} $ da média real $ \mu $ seja pelo menos 99%. Ou seja, precisamos que:
n
Vamos precisar entender como o Teorema Central do Limite funciona e aplicar alguns conceitos de estatística para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Central do Limite (TCL). Ele nos diz que, para uma amostra grande o suficiente $ n $, a distribuição da média amostral $ \frac{S_n}{n} $ será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja normal, desde que a variância seja finita.
Matematicamente, podemos escrever:
n
Isso significa que a média amostral tem média $ \mu $ e variância $ \frac{\sigma^{2}}{n} $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o $ n $ tal que a probabilidade de $ \frac{S_n}{n} $ estar dentro de $ \frac{\sigma}{4} $ de $ \mu $ seja pelo menos 99%. Em termos de intervalo de confiança, isso é:
n
Usando a propriedade da distribuição normal, vamos padronizar essa expressão para usar a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 4

Para padronizar, subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão da média amostral. Assim, temos:
P[-sigma4 <= Snn - mu <= sigma4] = P[-sigma4 <= N(0, sigma^2n) <= sigma4]
Dividindo tudo por $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $, que é o desvio padrão da média amostral, ficamos com:
sigmaraizn
onde $ Z $ segue a distribuição normal padrão $ \mathcal{N}(0,1) $.

Passo 5

Queremos que a probabilidade acima seja pelo menos 0,99. Sabemos que, na distribuição normal padrão, a probabilidade de $ Z $ estar dentro de $ z $ desvios padrão da média é:
Z
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, o valor de $ z $ correspondente a 99% de confiança é aproximadamente 2,576.
Então, temos:
z

Passo 6

Agora, vamos resolver para $ n $:
n
Elevando ambos os lados ao quadrado:
raizn = 2,576 times 4 = 10,304
Como o número de itens $ n $ precisa ser inteiro, arredondamos para cima.

Resposta

O menor número de itens necessários é 107.

Exercícios relacionados