Uma amostra aleatória de n itens é tomada de uma distribuição com media
e variância
. Utilizando o Teorema Central do Limite, determine o menor número de itens a serem considerados para que a seguinte elação seja satisfeita:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma amostra aleatória de tamanho $ n $ tirada de uma distribuição com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. A gente vai usar o Teorema Central do Limite para descobrir o menor número de itens $ n $ que garante que a probabilidade de a média amostral $ \frac{S_n}{n} $ estar dentro de $ \frac{\sigma}{4} $ da média real $ \mu $ seja pelo menos 99%. Ou seja, precisamos que:
Vamos precisar entender como o Teorema Central do Limite funciona e aplicar alguns conceitos de estatística para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Central do Limite (TCL). Ele nos diz que, para uma amostra grande o suficiente $ n $, a distribuição da média amostral $ \frac{S_n}{n} $ será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja normal, desde que a variância seja finita.
Matematicamente, podemos escrever:
Isso significa que a média amostral tem média $ \mu $ e variância $ \frac{\sigma^{2}}{n} $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o $ n $ tal que a probabilidade de $ \frac{S_n}{n} $ estar dentro de $ \frac{\sigma}{4} $ de $ \mu $ seja pelo menos 99%. Em termos de intervalo de confiança, isso é:
Usando a propriedade da distribuição normal, vamos padronizar essa expressão para usar a tabela da distribuição normal padrão.
Passo 4
Para padronizar, subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão da média amostral. Assim, temos:
Dividindo tudo por $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $, que é o desvio padrão da média amostral, ficamos com:
onde $ Z $ segue a distribuição normal padrão $ \mathcal{N}(0,1) $.
Passo 5
Queremos que a probabilidade acima seja pelo menos 0,99. Sabemos que, na distribuição normal padrão, a probabilidade de $ Z $ estar dentro de $ z $ desvios padrão da média é:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, o valor de $ z $ correspondente a 99% de confiança é aproximadamente 2,576.
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para $ n $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como o número de itens $ n $ precisa ser inteiro, arredondamos para cima.
Resposta
O menor número de itens necessários é 107.