Sabendo que a função geradora de momentos de uma variável
é
, encontre a função geradora de probabilidade de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ Z $ que segue uma distribuição normal padrão, ou seja, $ Z \sim \operatorname{Normal}(0,1) $. A função geradora de momentos (FGM) dessa variável é dada por $ M_Z(t) = e{t{2}/2} $. Nosso objetivo é encontrar a função geradora de momentos para uma variável $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $, ou seja, $ X \sim \operatorname{Normal}(\mu, \sigma^{2}) $. Para resolver isso, vamos utilizar propriedades das funções geradoras de momentos e entender como elas se comportam sob transformações de variáveis aleatórias.
Passo 2
Sabemos que se $ X $ é uma variável aleatória que pode ser expressa como $ X = \mu + \sigma Z $, onde $ Z $ é uma variável padrão $ \operatorname{Normal}(0,1) $, então podemos relacionar as funções geradoras de momentos de $ X $ e $ Z $. Essa relação é útil porque já conhecemos a FGM de $ Z $.
Passo 3
A função geradora de momentos de $ X $ é definida como $ M_X(t) = E[e^{tX}] $, onde $ E $ denota o valor esperado. Substituindo $ X = \mu + \sigma Z $ na expressão, temos:
Passo 4
Podemos separar o expoente utilizando propriedades de exponenciais:
Note que $ e^{t\mu} $ é uma constante em relação a $ Z $, então pode ser colocada fora do valor esperado.
Passo 5
Agora, reconhecemos que $ E\left[e^{t\sigma Z}\right] $ é a função geradora de momentos de $ Z $ avaliada em $ t\sigma $. Sabemos que $ M_Z(t) = e{t{2}/2} $, então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de $ M_X(t) $:
Resposta
A função geradora de momentos de $ X \sim \operatorname{Normal}(\mu, \sigma^{2}) $ é: