Mostre que
. (Sugestão: Considere uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d com distribuição Poisson e utilize o Teorema Central do Limite.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que:
Estamos lidando com limites e, mais especificamente, com a soma de termos que envolvem a distribuição de Poisson. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite, que nos ajuda a aproximar distribuições de somas de variáveis aleatórias. Vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição de Poisson e como aplicar o teorema para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se temos uma variável $ X $ que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $, a probabilidade de $ X $ assumir o valor $ k $ é dada por:
No nosso caso, a soma dentro do limite:
parece exatamente com a soma das probabilidades de uma variável Poisson com $ \lambda = n $ de assumir valores de 0 até $ n $. Ou seja, estamos somando $ P(X \leq n) $ para $ X \sim Poisson(n) $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema Central do Limite (TCL). Esse teorema diz que, para uma grande quantidade de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, a soma dessas variáveis tende a uma distribuição normal (gaussiana), independentemente da distribuição original.
No caso da distribuição de Poisson, quando $ \lambda $ é grande, a distribuição se aproxima de uma normal com média $ \mu = \lambda $ e variância $ \sigma^{2} = \lambda $. Então, para $ X \sim Poisson(n) $, quando $ n $ é grande, podemos aproximar $ X $ por uma normal $ \mathcal{N}(n, n) $.
Passo 4
Queremos encontrar:
Usando a aproximação normal, temos que $ X $ está aproximadamente distribuído como $ \mathcal{N}(n, n) $. Para essa distribuição, a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual à média $ n $ é exatamente $ \frac{1}{2} $, porque a distribuição normal é simétrica em torno da média.
Passo 5
Portanto, conforme $ n $ tende ao infinito, a soma das probabilidades até $ n $ para $ X \sim Poisson(n) $ se aproxima de $ \frac{1}{2} $. Isso nos leva diretamente ao limite que queríamos mostrar:
Resposta
A resposta final é $ \frac{1}{2} $.