Sejam
variáveis aleatórias de Poisson independentes com média 1.
b) Use o Teorema Central do Limite para aproximar a probabilidade do item anterior.
b) Use o Teorema Central do Limite para aproximar a probabilidade do item anterior.
Passo 1
Então, a gente tem aqui 20 variáveis aleatórias $ X_1, X_2, ···, X_{20} $ que seguem uma distribuição de Poisson com média 1 cada, e elas são independentes. A gente vai usar o Teorema Central do Limite para aproximar uma probabilidade relacionada a essa soma dessas variáveis. Para isso, vamos precisar saber como calcular a média e a variância da soma, além de entender como o Teorema Central do Limite nos ajuda a aproximar a distribuição dessa soma para uma normal.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a soma dessas 20 variáveis aleatórias: $ S = X_1 + X_2 + ··· + X_{20} $. Como cada $ X_i $ segue uma distribuição de Poisson com média $ \lambda = 1 $, a média da soma $ S $ será a soma das médias individuais:
E a variância da soma, que no caso das variáveis independentes também é a soma das variâncias individuais. Para Poisson, a variância é igual à média, então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema Central do Limite (TCL). Esse teorema nos diz que, quando a gente soma um número grande de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, a distribuição dessa soma tende a ser aproximadamente normal, mesmo que as variáveis originais não sejam normais.
No nosso caso, como estamos somando 20 variáveis de Poisson, que já têm média e variância conhecidas, podemos aproximar $ S $ por uma distribuição normal com média $ \mu_S = 20 $ e desvio padrão $ \sigma_S = \sqrt{20} \approx 4,472 $.
Passo 4
Para encontrar a probabilidade que a gente quer, por exemplo, $ P(S \leq k) $, onde $ k $ é algum valor específico, vamos padronizar essa variável normal. A padronização transfere $ S $ para uma variável $ Z $ que segue uma distribuição normal padrão (média 0 e variância 1):
Então, a probabilidade fica:
E aí, você usa uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar esse valor.
Resposta
Usando o Teorema Central do Limite, a soma $ S = X_1 + ··· + X_{20} $ pode ser aproximada por uma distribuição normal com média 20 e desvio padrão $ \sqrt{20} $. Assim, a probabilidade desejada pode ser calculada através da padronização e uso da distribuição normal padrão.