Mostre que:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente vai provar que a soma de $ n_i $ vezes
de 1 até $ k $ é igual à soma de $ n_i x_i^2 $ de 1 até $ k $ menos $ n $ vezes $ \bar{x}^2 $. Isso está relacionado a estatística, mais especificamente à análise de variância. Vamos precisar usar algumas propriedades algébricas e entender como funciona a média
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a média ponderada, ou seja:
onde $ n = \sum_{i=1}^{k} n_i $.
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Vamos desenvolver o quadrado dentro da soma:
Então, substituindo na soma:
Passo 4
Vamos distribuir a soma para cada termo:
Note que
é constante em relação à soma, então podemos tirar fora das somas onde aparece.
Passo 5
Agora, vamos substituir
por
, já que:
E para a última soma:
Passo 6
Substituindo essas igualdades na expressão, temos:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, combinando os termos semelhantes:
E assim, mostramos que:
Resposta
Concluímos que
está correto.