Mostre que:
sumi=1^k ni(xi-barx)^2=sumi=1^k ni xi^2-n barx^2

Passo 1

Então, vamos lá! A gente vai provar que a soma de $ n_i $ vezes ni de 1 até $ k $ é igual à soma de $ n_i x_i^2 $ de 1 até $ k $ menos $ n $ vezes $ \bar{x}^2 $. Isso está relacionado a estatística, mais especificamente à análise de variância. Vamos precisar usar algumas propriedades algébricas e entender como funciona a média (xi - barx)^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que barx é a média ponderada, ou seja:
barx = sumi=1^k ni xin
onde $ n = \sum_{i=1}^{k} n_i $.

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
sumi=1^k ni (xi - barx)^2
Vamos desenvolver o quadrado dentro da soma:
(xi - barx)^2 = xi^2 - 2xi barx + barx^2
Então, substituindo na soma:
sumi=1^k ni (xi^2 - 2xi barx + barx^2)

Passo 4

Vamos distribuir a soma para cada termo:
sumi=1^k ni xi^2 - 2barx sumi=1^k ni xi + sumi=1^k ni barx^2
Note que barx é constante em relação à soma, então podemos tirar fora das somas onde aparece.

Passo 5

Agora, vamos substituir sumi=1^k ni xi por n barx, já que:
barx = sumi=1^k ni xin implies sumi=1^k ni xi = n barx
E para a última soma:
sumi=1^k ni barx^2 = barx^2 sumi=1^k ni = barx^2 n

Passo 6

Substituindo essas igualdades na expressão, temos:
sumi=1^k ni xi^2 - 2barx (n barx) + barx^2 n
Simplificando:
sumi=1^k ni xi^2 - 2n barx^2 + n barx^2

Passo 7

Finalmente, combinando os termos semelhantes:
sumi=1^k ni xi^2 - n barx^2
E assim, mostramos que:
sumi=1^k ni (xi - barx)^2 = sumi=1^k ni xi^2 - n barx^2

Resposta

Concluímos que sumi=1^k ni (xi - barx)^2 = sumi=1^k ni xi^2 - n barx^2 está correto.

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