Uma amostra aleatória \mathrm{n}=400 é extraída de uma população de 50.000 recrutas do exército, em um determinado ano. O peso médio da amostra é de 70 kg ; com um desvio padrão igual a 4 kg . Encontre o intervalo de confiança de 90 \% para o peso da população de recrutas.
\mathrm{t}_{(5 \% ; 399)}=1,645 \quad IC:[69,671; 70,329]

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n=400 retirada de uma população de N=50.000 recrutas, com média amostral \bar x=70 kg e desvio‐padrão amostral s=4 kg. O objetivo é construir um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu.

Passo 2

O nível de significância é \alpha=1-0{,}90=0{,}10. Como o tamanho da amostra é grande, podemos usar a distribuição normal padrão. Para um IC bilateral de 90\%, o quantil crítico é
z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}95}=1{,}645.

Passo 3

Calculamos o erro‐padrão da média (standard error):
\mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{400}} = \frac{4}{20} = 0{,}2\text{ kg}.

Passo 4

O erro máximo tolerado (margem de erro) é
E = z_{1-\alpha/2}\,\mathrm{SE} = 1{,}645 \times 0{,}2 = 0{,}329\text{ kg}.

Passo 5

O intervalo de confiança fica
\bigl[\bar x - E,\;\bar x + E\bigr] = [70 - 0{,}329,\;70 + 0{,}329] = [69{,}671,\;70{,}329]\text{ kg}.

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para o peso médio é
[69{,}671;\;70{,}329]\text{ kg}.

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