Um provedor de acesso à Internet está monitorando a duração do tempo das conexões de seus clientes, com o objetivo de dimensionar seus equipamentos. São desconhecidas a média e a distribuição de
probabilidade desse tempo, mas o desvio padrão, por analogia a outros serviços, é considerado igual a \sqrt{50} minutos. Uma amostra de 500 conexões resultou num valor médio observado de 25 minutos. O que dizer da verdadeira média, com confiança 92 \% ?

Passo 1

O enunciado diz que um provedor mediu n=500 tempos de conexão e obteve média amostral \bar{x}=25 minutos. A distribuição real dos tempos é desconhecida, mas assume-se desvio padrão populacional \sigma=\sqrt{50}. Queremos construir um intervalo de confiança de 92\% para a verdadeira média \mu. O conteúdo envolvido é estimativa de intervalo para média com \sigma conhecido usando o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Pelo Teorema Central do Limite, para n grande temos aproximadamente
\bar{X}\sim N\Bigl(\mu,\;\frac{\sigma^{2}}{n}\Bigr).
Logo um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é
\bar{x}\pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Aqui 1-\alpha=0{,}92, então \alpha=0{,}08 e \displaystyle z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0{,}96}. Da tabela normal temos
z_{0{,}96}\approx 1{,}75.

Passo 4

Calculamos o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{500}} =\sqrt{\frac{50}{500}} =\sqrt{0{,}1} \approx 0{,}3162.

Passo 5

O coeficiente de erro (margem de erro) é
E = z_{0{,}96}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx 1{,}75\times 0{,}3162 \approx 0{,}553.

Passo 6

Portanto o intervalo de confiança de 92\% para \mu é
25 - 0{,}553 \;<\;\mu\;<\;25 + 0{,}553
ou seja aproximadamente
(24{,}447,\;25{,}553).

Resposta

Com 92\% de confiança, a verdadeira média de duração das conexões está entre aproximadamente 24{,}45 e 25{,}55 minutos.

Exercícios relacionados