Testando-se a resistência à ruptura de um movo tipo de linha de pescar, em seis carretéis, obtiveram-se os seguintes resultados em \mathrm{kg}: 34,33,26,32,28,27. Determine um I.C. de 95 \% e 80 \% para a média.
a) IC (95%)
\mathrm{t}_{(2,5 \% ; 5)}=2,5706 \quad IC:[26,42; 32,05]
b) IC (80%)
\mathrm{t}_{(10 \% ; 5)}=1,4759 \quad IC:[27,95; 32,05]

Passo 1

O enunciado dá seis medidas de resistência \mathrm{kg}: 34,33,26,32,28,27 e pede intervalos de confiança de 95\% e 80\% para a média. Como a amostra é pequena n=6 e a variância populacional é desconhecida, vamos usar a distribuição de Student. Precisamos calcular a média amostral \bar x, o desvio-padrão amostral s, o erro padrão \tfrac{s}{\sqrt{n}} e os valores críticos t_{\alpha/2,\,n-1}.

Passo 2

Calcular a média amostral:
\bar x = \frac{34 + 33 + 26 + 32 + 28 + 27}{6} = \frac{180}{6} = 30.

Passo 3

Calcular a variância e o desvio-padrão amostral:
\sum (x_i - \bar x)^2 = 16 + 9 + 16 + 4 + 4 + 9 = 58,
s^2 = \frac{58}{n-1} = \frac{58}{5} = 11{,}6, \quad s = \sqrt{11{,}6} \approx 3{,}406.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média:
\mathrm{EP} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{3{,}406}{\sqrt{6}} \approx 1{,}391.

Passo 5

O intervalo de confiança para a média é
\bar x \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\mathrm{EP}.

Passo 6

Para 95\%, \alpha=0{,}05, \alpha/2=0{,}025, df=5, t_{0{,}025,5}=2{,}5706.
A meia-largura é
2{,}5706 \times 1{,}391 \approx 3{,}576.
Logo
\text{IC}_{95\%} = 30 \pm 3{,}576 = [26{,}424;\;33{,}576].

Passo 7

Para 80\%, \alpha=0{,}20, \alpha/2=0{,}10, df=5, t_{0{,}10,5}=1{,}4759.
A meia-largura é
1{,}4759 \times 1{,}391 \approx 2{,}053.
Logo
\text{IC}_{80\%} = 30 \pm 2{,}053 = [27{,}947;\;32{,}053].

Resposta

(a) \displaystyle [26{,}42;\;33{,}58]
(b) \displaystyle [27{,}95;\;32{,}05]

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