Questão 4-O gerente de um banco presume que a renda média anual de seus clientes é no máximo \mathrm{R} \ 38.000,00 . Uma amostra aleatória de 60 clientes acusou uma média deóé\mathrm{R} $39.500,00 e um desvio padrão deã\mathrm{R} $ 3.000,00 . Considerando um nível de significância de: a)íâ5 % b)1 % , pode-se dizer que a renda média anual dos clientes desse gerente é diferente de R\éé 38.000,00? (5pts)

Passo 1

O enunciado quer testar se a renda média anual dos clientes \mu difere de R$ 38000, com uma amostra de tamanho n=60 que apresentou média \bar x=39 500 e desvio padrão s=3 000. O conteúdo é teste de hipóteses para média populacional com variância desconhecida (usando distribuição t de Student, mas como n é grande, a aproximação pela normal também vale).

Passo 2

Formulamos as hipóteses bidirecionais:
H_0:\mu = 38\,000
H_a:\mu \neq 38\,000

Passo 3

A estatística de teste é
t \;=\;\frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}}
Substituindo os valores:
t = \frac{39\,500 - 38\,000}{3\,000/\sqrt{60}} = \frac{1\,500}{3\,000/\sqrt{60}} \approx 3{,}87.

Passo 4

Com df = n-1 = 59, os valores críticos são
t_{0,025;59}\approx2{,}00 \quad\text{e}\quad t_{0,005;59}\approx2{,}66.

Passo 5

Com |t|=3{,}87:
  • Ao nível \alpha=5\%, como 3{,}87>2{,}00, rejeitamos H_0.
  • Ao nível \alpha=1\%, como 3{,}87>2{,}66, rejeitamos H_0.
Em ambos os níveis, há evidência significativa de que a renda média difere de R$ 38000.

Resposta

a) Rejeita-se H_0 a 5\%; a renda média é diferente de R$ 38000.
b) Rejeita-se H_0 a 1\%; a renda média é diferente de R$ 38000.

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