QUESTÃO 06- Calcule o Laplaciano da função
dada.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Função dada:
. - Pedido: calcular o Laplaciano de
, isto é, (soma das derivadas segundas em e em ).
Passo 2
Lembrete teórico (fórmulas e regras que vou usar; explicação didática):
- Definição do Laplaciano em duas variáveis:
Isto significa que precisamos calcular
,
,
e
e somá-las.
- Regras de diferenciação que usaremos:
- Regra do produto: se
e são funções, . Aqui é a derivada parcial de em relação a . - Regra da cadeia: se
e , então . - Derivada de funções trigonométricas:
e .
- Regra do produto: se
- Aplicação concreta: aqui temos um produto
. Vou tratar a constante fora das derivadas, e aplicar produto + cadeia para e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras.
- Para facilitar, escrevo
, com e .
Derivada parcial em
:
Calculo
e
:
Substituindo:
Derivada parcial em
:
Calculo
e
:
Substituindo:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
(derivar
em
).
Partindo de
Partindo de
vou aplicar novamente a regra do produto: derivada de
vezes o parêntese mais
vezes derivada do parêntese.
Primeiro, derivada de
em
já sabemos:
. Então a primeira parte é
Agora derivo o parêntese
em
:
- Derivada de
: por produto . - Derivada de
em : .
Somando:
Multiplicando por
temos a segunda parte:
Somando as duas partes:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto
Passo 5
Calcular a segunda derivada
(derivar
em
).
Partindo de
Partindo de
novamente produto: derivada de
em
mais
vezes derivada do parêntese.
Sabemos
. Então primeira parte:
Agora derivada do parêntese
em
:
- Derivada de
: produto . - Derivada de
em : .
Somando:
Multiplicando por
obtemos a segunda parte:
Somando as partes:
Agrupando:
Portanto
Passo 6
Somar as segundas derivadas para obter o Laplaciano e simplificar.
Substituindo as expressões obtidas (todas têm o fator comum
):
Os termos em
se cancelam:
. Somando os coeficientes de
:
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Voltando à notação original
: