QUESTÃO 06- Calcule o Laplaciano da função \varphi dada.
\vec{\varphi}(x, y)=\frac{1}{4} e^{x^{2}-y^{2}} . \operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Função dada: \vec{\varphi}(x,y)=\dfrac{1}{4}e^{x^{2}-y^{2}}\operatorname{sen}(xy).
  • Pedido: calcular o Laplaciano de \varphi, isto é, \Delta \varphi (soma das derivadas segundas em x e em y).

Passo 2

Lembrete teórico (fórmulas e regras que vou usar; explicação didática):
  • Definição do Laplaciano em duas variáveis:
\Delta \varphi=\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}.
Isto significa que precisamos calcular \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}, \dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} e \dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}} e somá-las.
  • Regras de diferenciação que usaremos:
    1. Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, \dfrac{\partial}{\partial x}(u v)=u_x v + u v_x. Aqui u_x é a derivada parcial de u em relação a x.
    2. Regra da cadeia: se w(t)=e^{t} e t=t(x,y), então \dfrac{\partial}{\partial x}e^{t(x,y)}=e^{t(x,y)}\cdot t_x.
    3. Derivada de funções trigonométricas: \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u' e \dfrac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)\,u'.
  • Aplicação concreta: aqui temos um produto \dfrac{1}{4} \cdot e^{x^{2}-y^{2}} \cdot \sin(xy). Vou tratar a constante 1/4 fora das derivadas, e aplicar produto + cadeia para e^{x^{2}-y^{2}} e \sin(xy).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras.
  • Para facilitar, escrevo \varphi(x,y)=\dfrac{1}{4}E\cdot S, com E=e^{x^{2}-y^{2}} e S=\sin(xy).
Derivada parcial em x:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{1}{4}\left(E_x S + E S_x\right).
Calculo E_x e S_x:
E_x=\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}-y^{2}}=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x=2xE.
S_x=\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y = y\cos(xy).
Substituindo:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{1}{4}\big(2xE\cdot S + E\cdot y\cos(xy)\big) =\frac{1}{4}E\big(2x\sin(xy)+y\cos(xy)\big).
Derivada parcial em y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{1}{4}\left(E_y S + E S_y\right).
Calculo E_y e S_y:
E_y=\frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}-y^{2}}=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)=-2yE.
S_y=\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=\cos(xy)\cdot x = x\cos(xy).
Substituindo:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{1}{4}\big((-2yE)S + E\cdot x\cos(xy)\big) =\frac{1}{4}E\big(-2y\sin(xy)+x\cos(xy)\big).

Passo 4

Calcular a segunda derivada \dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}} (derivar \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} em x).
Partindo de
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{1}{4}E\big(2x\sin(xy)+y\cos(xy)\big),
vou aplicar novamente a regra do produto: derivada de E vezes o parêntese mais E vezes derivada do parêntese.
Primeiro, derivada de E em x já sabemos: E_x=2xE. Então a primeira parte é
\frac{1}{4} E_x\big(2x\sin+ y\cos\big)=\frac{1}{4}\cdot 2xE\big(2x\sin(xy)+y\cos(xy)\big) =\frac{1}{4}E\big(4x^{2}\sin(xy)+2xy\cos(xy)\big).
Agora derivo o parêntese \big(2x\sin(xy)+y\cos(xy)\big) em x:
  • Derivada de 2x\sin(xy): por produto 2\sin(xy)+2x\cdot\cos(xy)\cdot y = 2\sin(xy)+2xy\cos(xy).
  • Derivada de y\cos(xy) em x: y\cdot(-\sin(xy))\cdot y = -y^{2}\sin(xy).
    Somando:
\frac{\partial}{\partial x}\big(2x\sin+ y\cos\big)=(2 - y^{2})\sin(xy)+2xy\cos(xy).
Multiplicando por \dfrac{1}{4}E temos a segunda parte:
\frac{1}{4}E\big((2 - y^{2})\sin(xy)+2xy\cos(xy)\big).
Somando as duas partes:
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{4}E\Big((4x^{2}\sin+2xy\cos)+(2 - y^{2})\sin+2xy\cos\Big).
Agrupando termos semelhantes:
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{4}E\Big((4x^{2}+2 - y^{2})\sin(xy)+(2xy+2xy)\cos(xy)\Big).
Portanto
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{4}E\Big((4x^{2}+2 - y^{2})\sin(xy)+4xy\cos(xy)\Big).

Passo 5

Calcular a segunda derivada \dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}} (derivar \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} em y).
Partindo de
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{1}{4}E\big(-2y\sin(xy)+x\cos(xy)\big),
novamente produto: derivada de E em y mais E vezes derivada do parêntese.
Sabemos E_y=-2yE. Então primeira parte:
\frac{1}{4}E_y\big(-2y\sin + x\cos\big)=\frac{1}{4}\cdot(-2yE)\big(-2y\sin(xy)+x\cos(xy)\big) =\frac{1}{4}E\big(4y^{2}\sin(xy)-2xy\cos(xy)\big).
Agora derivada do parêntese (-2y\sin(xy)+x\cos(xy)) em y:
  • Derivada de -2y\sin(xy): produto -2\sin(xy) + (-2y)\cdot\cos(xy)\cdot x = -2\sin(xy) -2xy\cos(xy).
  • Derivada de x\cos(xy) em y: x\cdot(-\sin(xy))\cdot x = -x^{2}\sin(xy).
    Somando:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-2y\sin + x\cos\big)=(-2 - x^{2})\sin(xy) -2xy\cos(xy).
Multiplicando por \dfrac{1}{4}E obtemos a segunda parte:
\frac{1}{4}E\big((-2 - x^{2})\sin(xy) -2xy\cos(xy)\big).
Somando as partes:
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}=\frac{1}{4}E\Big((4y^{2}\sin-2xy\cos)+((-2 - x^{2})\sin -2xy\cos)\Big).
Agrupando:
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}=\frac{1}{4}E\Big((4y^{2}-2 - x^{2})\sin(xy)+(-2xy-2xy)\cos(xy)\Big).
Portanto
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}=\frac{1}{4}E\Big((4y^{2}- x^{2}-2)\sin(xy)-4xy\cos(xy)\Big).

Passo 6

Somar as segundas derivadas para obter o Laplaciano e simplificar.
\Delta \varphi=\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}.
Substituindo as expressões obtidas (todas têm o fator comum \dfrac{1}{4}E):
\Delta \varphi=\frac{1}{4}E\Big((4x^{2}+2 - y^{2})\sin+4xy\cos\Big) +\frac{1}{4}E\Big((4y^{2}- x^{2}-2)\sin-4xy\cos\Big).
Os termos em \cos(xy) se cancelam: 4xy\cos - 4xy\cos=0. Somando os coeficientes de \sin(xy):
(4x^{2}+2 - y^{2})+(4y^{2}- x^{2}-2)=3x^{2}+3y^{2}=3(x^{2}+y^{2}).
Logo
\Delta \varphi=\frac{1}{4}E\cdot 3(x^{2}+y^{2})\sin(xy).
Voltando à notação original E=e^{x^{2}-y^{2}}:
\Delta \varphi=\frac{3}{4}(x^{2}+y^{2})e^{x^{2}-y^{2}}\sin(xy).

Resposta

\Delta \varphi(x,y)=\frac{3}{4}(x^{2}+y^{2})\,e^{x^{2}-y^{2}}\sin(xy)

Exercícios relacionados