QUESTÃO 06- Calcule o Laplaciano da função
dada.
Passo 1
O enunciado dá a função escalar
e pede para calcular o Laplaciano dela.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é
. - O que se pede é o Laplaciano
, isto é, a soma das segundas derivadas parciais em e em : .
Passo 2
Lembrete das regras que vou usar (explicando passo a passo):
- O Laplaciano de uma função escalar
é definido por . Aqui e , etc. - Para derivar uma composição
usa-se a regra da cadeia: e, ao derivar novamente, aparece uma combinação que pode ser organizada com a regra do quociente. - No caso
vale e . Vou usar uma forma compacta que resulta da diferenciação duas vezes:
onde
é a função interna de
.
Passo 3
Defino a função interna
Vou calcular as derivadas parciais de
que aparecem nas fórmulas:
Passo 4
Calculo as segundas derivadas de
:
Também anoto
e portanto
Passo 5
Agora uso a forma compacta para
e
e somo para obter
. Primeiro escrevo o denominador comum
O numerador da soma
é
Substituindo os valores calculados:
Portanto o numerador fica
Passo 6
Faço uma fatoração comum para deixar o resultado mais compacto. Colocando
em evidência:
Simplificando o que está entre colchetes:
E observando
, obtém-se uma forma organizada:
Então o Laplaciano é