QUESTÃO 06- Calcule o Laplaciano da função \varphi dada.
\vec{\varphi}(x, y)=\operatorname{arctg}(4 x \cos y)

Passo 1

O enunciado dá a função escalar \vec{\varphi}(x,y)=\operatorname{arctg}(4x\cos y) e pede para calcular o Laplaciano dela.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é \varphi(x,y)=\operatorname{arctg}\!\big(4x\cos y\big).
  • O que se pede é o Laplaciano \Delta\varphi, isto é, a soma das segundas derivadas parciais em x e em y: \Delta\varphi=\varphi_{xx}+\varphi_{yy}.

Passo 2

Lembrete das regras que vou usar (explicando passo a passo):
  • O Laplaciano de uma função escalar \varphi(x,y) é definido por \displaystyle \Delta\varphi=\varphi_{xx}+\varphi_{yy}. Aqui \varphi_{x}=\partial\varphi/\partial x e \varphi_{xx}=\partial^2\varphi/\partial x^2, etc.
  • Para derivar uma composição \varphi(x,y)=g(u(x,y)) usa-se a regra da cadeia: \varphi_x=g'(u)\,u_x e, ao derivar novamente, aparece uma combinação que pode ser organizada com a regra do quociente.
  • No caso g(u)=\arctan u vale g'(u)=1/(1+u^2) e g''(u)=-2u/(1+u^2)^2. Vou usar uma forma compacta que resulta da diferenciação duas vezes:
\varphi_{xx}=\frac{u_{xx}(1+u^2)-2u(u_x)^2}{(1+u^2)^2},\qquad \varphi_{yy}=\frac{u_{yy}(1+u^2)-2u(u_y)^2}{(1+u^2)^2},
onde u(x,y) é a função interna de \arctan.

Passo 3

Defino a função interna
u(x,y)=4x\cos y.
Vou calcular as derivadas parciais de u que aparecem nas fórmulas:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(4x\cos y)=4\cos y,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(4x\cos y)=4x\,\frac{d}{dy}(\cos y)= -4x\sin y.

Passo 4

Calculo as segundas derivadas de u:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_x)=\frac{\partial}{\partial x}(4\cos y)=0,
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_y)=\frac{\partial}{\partial y}(-4x\sin y)=-4x\cos y.
Também anoto
u^2=(4x\cos y)^2=16x^2\cos^2 y,
(u_x)^2=(4\cos y)^2=16\cos^2 y,
(u_y)^2=(-4x\sin y)^2=16x^2\sin^2 y,
e portanto
(u_x)^2+(u_y)^2=16\big(\cos^2 y + x^2\sin^2 y\big).

Passo 5

Agora uso a forma compacta para \varphi_{xx} e \varphi_{yy} e somo para obter \Delta\varphi. Primeiro escrevo o denominador comum
(1+u^2)^2=\big(1+16x^2\cos^2 y\big)^2.
O numerador da soma \varphi_{xx}+\varphi_{yy} é
(u_{xx}+u_{yy})(1+u^2)-2u\big((u_x)^2+(u_y)^2\big).
Substituindo os valores calculados:
u_{xx}+u_{yy}=0+(-4x\cos y)=-4x\cos y,
1+u^2=1+16x^2\cos^2 y,
2u\big((u_x)^2+(u_y)^2\big)=2\cdot(4x\cos y)\cdot 16\big(\cos^2 y + x^2\sin^2 y\big)=128x\cos y\big(\cos^2 y + x^2\sin^2 y\big).
Portanto o numerador fica
-4x\cos y\big(1+16x^2\cos^2 y\big)-128x\cos y\big(\cos^2 y + x^2\sin^2 y\big).

Passo 6

Faço uma fatoração comum para deixar o resultado mais compacto. Colocando -4x\cos y em evidência:
\text{num}=-4x\cos y\Big[\big(1+16x^2\cos^2 y\big)+32\big(\cos^2 y + x^2\sin^2 y\big)\Big].
Simplificando o que está entre colchetes:
\big(1+16x^2\cos^2 y\big)+32\big(\cos^2 y + x^2\sin^2 y\big) =1+32\cos^2 y+16x^2\big(\cos^2 y+2\sin^2 y\big).
E observando \cos^2 y+2\sin^2 y=1+\sin^2 y, obtém-se uma forma organizada:
\text{num}=-4x\cos y\big[\,1+32\cos^2 y+16x^2(1+\sin^2 y)\,\big].
Então o Laplaciano é
\Delta\varphi=\frac{\text{num}}{(1+u^2)^2} =\frac{-4x\cos y\big[\,1+32\cos^2 y+16x^2(1+\sin^2 y)\,\big]}{\big(1+16x^2\cos^2 y\big)^2}.

Resposta

\Delta\varphi(x,y)=\frac{-4x\cos y\big[\,1+32\cos^2 y+16x^2(1+\sin^2 y)\,\big]}{\big(1+16x^2\cos^2 y\big)^2}.

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