Uma amostra aleatória de tamanho é selecionada de uma população normal, com uma média de 75 e um desvio-padrão de 8. Uma segunda amostra aleatória de tamanho é retirada de outra população normal, com média 70 e desvio-padrão 12. Sejam e duas médias amostrais. Encontre:
a) a probabilidade de exceder 4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas amostras retiradas de populações normais. A primeira amostra tem tamanho , média 75 e desvio-padrão 8. A segunda amostra tem tamanho , média 70 e desvio-padrão 12. Queremos descobrir a probabilidade de a diferença entre as médias amostrais, , ser maior que 4. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e propriedades das médias amostrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a média da diferença entre as duas médias amostrais. Se as populações são normais e as amostras são independentes, a média da diferença é simplesmente a diferença das médias das populações. Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o desvio-padrão da diferença entre as médias amostrais. A variância da diferença é a soma das variâncias das duas médias, já que as amostras são independentes. A fórmula é:
Agora, queremos encontrar a probabilidade de barX1 - barX2 ser maior que 4. Primeiro, vamos calcular o escore z, que nos diz quantos desvios-padrão 4 está da média da distribuição:
z = X - musigma = 4 - 54,472 approx -14,472 approx -0,224
Passo 5
Com o z calculado, queremos a probabilidade de barX1 - barX2 > 4, que corresponde a P(Z > -0,224). Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos que:
P(Z > -0,224) approx 0,589
Resposta
A probabilidade de barX1 - barX2 exceder 4 é aproximadamente 58,9 %.