Uma amostra aleatória de tamanho n1=16 é selecionada de uma população normal, com uma média de 75 e um desvio-padrão de 8. Uma segunda amostra aleatória de tamanho n2=9 é retirada de outra população normal, com média 70 e desvio-padrão 12. Sejam barX1 e barX2 duas médias amostrais. Encontre:
a) a probabilidade de barX1-barX2 exceder 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas amostras retiradas de populações normais. A primeira amostra tem tamanho n1 = 16, média 75 e desvio-padrão 8. A segunda amostra tem tamanho n2 = 9, média 70 e desvio-padrão 12. Queremos descobrir a probabilidade de a diferença entre as médias amostrais, barX1 - barX2, ser maior que 4. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e propriedades das médias amostrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a média da diferença entre as duas médias amostrais. Se as populações são normais e as amostras são independentes, a média da diferença é simplesmente a diferença das médias das populações. Então:
mubarX1 - barX2 = mu1 - mu2 = 75 - 70 = 5

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o desvio-padrão da diferença entre as médias amostrais. A variância da diferença é a soma das variâncias das duas médias, já que as amostras são independentes. A fórmula é:
sigmabarX1 - barX2 = raiz(sigma1^2n1) + (sigma2^2n2)
Substituindo os valores:
sigmabarX1 - barX2 = raiz(8^216) + (12^29) = raiz(6416) + (1449) = raiz4 + 16 = raiz20 approx 4,472

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de barX1 - barX2 ser maior que 4. Primeiro, vamos calcular o escore z, que nos diz quantos desvios-padrão 4 está da média da distribuição:
z = X - musigma = 4 - 54,472 approx -14,472 approx -0,224

Passo 5

Com o z calculado, queremos a probabilidade de barX1 - barX2 > 4, que corresponde a P(Z > -0,224). Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos que:
P(Z > -0,224) approx 0,589

Resposta

A probabilidade de barX1 - barX2 exceder 4 é aproximadamente 58,9 %.

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