Determine o valor de c que torna a função
uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa
e
.
Determine o seguinte:
e)
Determine o seguinte:
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de $ c $ que faz a função $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ ser uma função densidade de probabilidade conjunta, válida para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Depois disso, vamos calcular a esperança de $ X $, ou seja, $ E(X) $.
Passo 2
Primeiro, para $ f(x, y) $ ser uma densidade de probabilidade conjunta, a integral dupla dela sobre toda a região onde está definida deve ser igual a 1. Isso significa que:
Passo 3
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a $ x $:
Portanto:
Passo 5
Para que a integral seja igual a 1, temos:
Passo 6
Agora que encontramos $ c = 10 $, vamos calcular $ E(X) $. A esperança de $ X $ é dada por:
Substituindo $ f(x, y) $ por $ 10 e^{-2x - 3y} $:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então:
Passo 8
Vamos resolver as duas integrais separadamente:
Portanto:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é $ E(X) = 0,7 $.