Determine o valor de c que torna a função f(x, y)=c e^-2 x-3 y uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa 0 e 0.
Determine o seguinte:
e) E(X)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de $ c $ que faz a função $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ ser uma função densidade de probabilidade conjunta, válida para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Depois disso, vamos calcular a esperança de $ X $, ou seja, $ E(X) $.

Passo 2

Primeiro, para $ f(x, y) $ ser uma densidade de probabilidade conjunta, a integral dupla dela sobre toda a região onde está definida deve ser igual a 1. Isso significa que:
f(x, y)

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ y $:
y
Então, a integral fica:
integral0^x e^-3y , dy = [ -13 e^-3y ]0^x = -13 e^-3x + 13 = 13 (1 - e^-3x)

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a $ x $:
x
integral0^infty e^-2x , dx = 12
Portanto:
integral0^infty e^-5x , dx = 15

Passo 5

Para que a integral seja igual a 1, temos:
c10 = 1 implies c = 10

Passo 6

Agora que encontramos $ c = 10 $, vamos calcular $ E(X) $. A esperança de $ X $ é dada por:
c = 10
Substituindo $ f(x, y) $ por $ 10 e^{-2x - 3y} $:
E(X)

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^x e^-3y , dy = 13 (1 - e^-3x)
Então:
E(X) = 10 integral0^infty x cdot e^-2x cdot 13 (1 - e^-3x) , dx = 103 integral0^infty x cdot e^-2x - x cdot e^-5x , dx

Passo 8

Vamos resolver as duas integrais separadamente:
integral0^infty x e^-2x , dx = 14
integral0^infty x e^-5x , dx = 125
Portanto:
E(X) = 103 ( 14 - 125 ) = 103 cdot 21100 = 210300 = 710 = 0,7

Resposta

O valor esperado de $ X $ é $ E(X) = 0,7 $.

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