Sejam
variáveis aleatórias independentes, com média
e variância
. Suponha que tenhamos dois estimadores de
:
e
a) Os dois estimadores são não tendenciosos de
?
a) Os dois estimadores são não tendenciosos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas variáveis aleatórias independentes, $ \mathrm{X}{1} $ e $ \mathrm{X}{2} $, que têm média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. Temos dois estimadores para $ \mu $:
A pergunta é: Esses dois estimadores são não tendenciosos para $ \mu $?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um estimador ser não tendencioso e calcular a média (esperança) desses estimadores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um estimador não tendencioso. Um estimador $ \widehat{\Theta} $ é não tendencioso para um parâmetro $ \theta $ se:
Ou seja, a média dos valores estimados é igual ao valor verdadeiro do parâmetro que queremos estimar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a esperança de cada estimador para ver se eles são não tendenciosos.
Começando com $ \widehat{\Theta}_{1} $:
Sabemos que $ \mathbb{E}[\mathrm{X}{1}] = \mu $ e $ \mathbb{E}[\mathrm{X}{2}] = \mu $, então:
Isso mostra que $ \widehat{\Theta}_{1} $ é um estimador não tendencioso para $ \mu $.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para $ \widehat{\Theta}_{2} $:
Substituindo novamente $ \mathbb{E}[\mathrm{X}{1}] = \mu $ e $ \mathbb{E}[\mathrm{X}{2}] = \mu $:
Isso também mostra que $ \widehat{\Theta}_{2} $ é um estimador não tendencioso para $ \mu $.
Resposta
Sim, ambos os estimadores $ \widehat{\Theta}{1} $ e $ \widehat{\Theta}{2} $ são não tendenciosos para $ \mu $.