Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes, com média mu e variância sigma^2. Suponha que tenhamos dois estimadores de mu: widehatTheta1=X1+X22 e widehatTheta2=X1+3 X24
a) Os dois estimadores são não tendenciosos de mu?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas variáveis aleatórias independentes, $ \mathrm{X}{1} $ e $ \mathrm{X}{2} $, que têm média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. Temos dois estimadores para $ \mu $:
X1
X2
A pergunta é: Esses dois estimadores são não tendenciosos para $ \mu $?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um estimador ser não tendencioso e calcular a média (esperança) desses estimadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um estimador não tendencioso. Um estimador $ \widehat{\Theta} $ é não tendencioso para um parâmetro $ \theta $ se:
widehatTheta
Ou seja, a média dos valores estimados é igual ao valor verdadeiro do parâmetro que queremos estimar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a esperança de cada estimador para ver se eles são não tendenciosos.
Começando com $ \widehat{\Theta}_{1} $:
widehatTheta1
Sabemos que $ \mathbb{E}[\mathrm{X}{1}] = \mu $ e $ \mathbb{E}[\mathrm{X}{2}] = \mu $, então:
E[widehatTheta1] = E[X1 + X22] = E[X1] + E[X2]2
Isso mostra que $ \widehat{\Theta}_{1} $ é um estimador não tendencioso para $ \mu $.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para $ \widehat{\Theta}_{2} $:
widehatTheta2
Substituindo novamente $ \mathbb{E}[\mathrm{X}{1}] = \mu $ e $ \mathbb{E}[\mathrm{X}{2}] = \mu $:
E[widehatTheta2] = E[X1 + 3X24] = E[X1] + 3E[X2]4
Isso também mostra que $ \widehat{\Theta}_{2} $ é um estimador não tendencioso para $ \mu $.

Resposta

Sim, ambos os estimadores $ \widehat{\Theta}{1} $ e $ \widehat{\Theta}{2} $ são não tendenciosos para $ \mu $.

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