Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
x y fxy(x, y)
1,0 1 14
1,5 2 18
1,5 3 14
2,5 4 14
3 5 18
Determine o seguinte:
e) E(X), E(Y), V(X) e V(Y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma determinada função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta e, em seguida, calcular $ E(X) $, $ E(Y) $, $ V(X) $ e $ V(Y) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade conjuntas, valores esperados e variâncias. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função de probabilidade conjunta. Ela atribui uma probabilidade para cada par de valores possíveis de $ X $ e $ Y $. Para que uma função seja de probabilidade conjunta válida, ela precisa satisfazer duas propriedades principais:
  1. Não-negatividade: Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a zero.
  2. Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas propriedades com a tabela fornecida.

Passo 3

Verificando a Não-negatividade:
Observando a tabela:
$ x $ $ y $ $ f_{XY}(x, y) $
1.0 1 $ \frac{1}{4} $
1.5 2 $ \frac{1}{8} $
1.5 3 $ \frac{1}{4} $
2.5 4 $ \frac{1}{4} $
3.0 5 $ \frac{1}{8} $
Todas as probabilidades são positivas ($ \frac{1}{4}, \frac{1}{8} $, etc.), portanto, a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Soma das Probabilidades:
Vamos somar todas as probabilidades:
14 + 18 + 14 + 14 + 18 = 28 + 18 + 28 + 28 + 18 = 88 = 1
A soma das probabilidades é igual a 1, então a segunda propriedade também está satisfeita. Assim, a função dada é uma função de probabilidade conjunta válida.

Passo 5

Agora vamos calcular o Valor Esperado de $ X $, que é denotado por $ E(X) $. O valor esperado é uma média ponderada dos possíveis valores de $ X $, onde os pesos são as probabilidades correspondentes.
Primeiro, precisamos encontrar a distribuição marginal de $ X $, que é obtida somando as probabilidades para cada valor de $ X $ independente de $ Y $.
$ x $ Probabilidade $ P(X = x) $
1.0 $ \frac{1}{4} $
1.5 $ \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} $
2.5 $ \frac{1}{4} $
3.0 $ \frac{1}{8} $
Agora, calculamos $ E(X) $:
X
Calculando cada termo:
E(X)
X
X
X
Somando tudo:
Y

Passo 6

Agora vamos calcular o Valor Esperado de $ Y $, $ E(Y) $. Similar ao $ E(X) $, precisamos da distribuição marginal de $ Y $.
Primeiro, somamos as probabilidades para cada valor de $ Y $:
$ y $ Probabilidade $ P(Y = y) $
1 $ \frac{1}{4} $
2 $ \frac{1}{8} $
3 $ \frac{1}{4} $
4 $ \frac{1}{4} $
5 $ \frac{1}{8} $
Agora, calculamos $ E(Y) $:
Y
Calculando cada termo:
E(Y)
E(X)
Y
Y
y
Somando tudo:
P(Y = y)

Passo 7

Agora, vamos calcular a Variância de $ X $, $ V(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão dispersos em relação ao valor esperado.
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $:
X
Calculando cada termo:
V(X)
X
E(X^2)
E(X^2) = sum x^2 cdot P(X = x) = 1.0^2 cdot 14 + 1.5^2 cdot 38 + 2.5^2 cdot 14 + 3.0^2 cdot 18
Somando tudo:
1.0^2 cdot 14 = 1 cdot 14 = 14
Agora, usamos a fórmula da variância:
1.5^2 cdot 38 = 2.25 cdot 38 = 6.758 = 0.84375

Passo 8

Por fim, vamos calcular a Variância de $ Y $, $ V(Y) $.
Primeiro, calculamos $ E(Y^2) $:
Y
Calculando cada termo:
V(Y)
E(Y^2)
E(Y^2) = sum y^2 cdot P(Y = y) = 1^2 cdot 14 + 2^2 cdot 18 + 3^2 cdot 14 + 4^2 cdot 14 + 5^2 cdot 18
1^2 cdot 14 = 1 cdot 14 = 14
2^2 cdot 18 = 4 cdot 18 = 48 = 0.5
Somando tudo:
3^2 cdot 14 = 9 cdot 14 = 2.25
Agora, usamos a fórmula da variância:
4^2 cdot 14 = 16 cdot 14 = 4

Resposta

E(X) = 1.8125, E(Y) = 2.875, V(X) = 0.4961, V(Y) = 1.7344

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