Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
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1,0 | 1 |
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1,5 | 2 |
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1,5 | 3 |
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2,5 | 4 |
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3 | 5 |
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Determine o seguinte:
e) e
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma determinada função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta e, em seguida, calcular $ E(X) $, $ E(Y) $, $ V(X) $ e $ V(Y) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade conjuntas, valores esperados e variâncias. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função de probabilidade conjunta. Ela atribui uma probabilidade para cada par de valores possíveis de $ X $ e $ Y $. Para que uma função seja de probabilidade conjunta válida, ela precisa satisfazer duas propriedades principais:
- Não-negatividade: Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a zero.
- Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas propriedades com a tabela fornecida.
Passo 3
Verificando a Não-negatividade:
Observando a tabela:
$ x $ | $ y $ | $ f_{XY}(x, y) $ |
---|---|---|
1.0 | 1 | $ \frac{1}{4} $ |
1.5 | 2 | $ \frac{1}{8} $ |
1.5 | 3 | $ \frac{1}{4} $ |
2.5 | 4 | $ \frac{1}{4} $ |
3.0 | 5 | $ \frac{1}{8} $ |
Todas as probabilidades são positivas ($ \frac{1}{4}, \frac{1}{8} $, etc.), portanto, a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Soma das Probabilidades:
Vamos somar todas as probabilidades:
A soma das probabilidades é igual a 1, então a segunda propriedade também está satisfeita. Assim, a função dada é uma função de probabilidade conjunta válida.
Passo 5
Agora vamos calcular o Valor Esperado de $ X $, que é denotado por $ E(X) $. O valor esperado é uma média ponderada dos possíveis valores de $ X $, onde os pesos são as probabilidades correspondentes.
Primeiro, precisamos encontrar a distribuição marginal de $ X $, que é obtida somando as probabilidades para cada valor de $ X $ independente de $ Y $.
$ x $ | Probabilidade $ P(X = x) $ |
---|---|
1.0 | $ \frac{1}{4} $ |
1.5 | $ \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} $ |
2.5 | $ \frac{1}{4} $ |
3.0 | $ \frac{1}{8} $ |
Agora, calculamos $ E(X) $:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 6
Agora vamos calcular o Valor Esperado de $ Y $, $ E(Y) $. Similar ao $ E(X) $, precisamos da distribuição marginal de $ Y $.
Primeiro, somamos as probabilidades para cada valor de $ Y $:
$ y $ | Probabilidade $ P(Y = y) $ |
---|---|
1 | $ \frac{1}{4} $ |
2 | $ \frac{1}{8} $ |
3 | $ \frac{1}{4} $ |
4 | $ \frac{1}{4} $ |
5 | $ \frac{1}{8} $ |
Agora, calculamos $ E(Y) $:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 7
Agora, vamos calcular a Variância de $ X $, $ V(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão dispersos em relação ao valor esperado.
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, usamos a fórmula da variância:
Passo 8
Por fim, vamos calcular a Variância de $ Y $, $ V(Y) $.
Primeiro, calculamos $ E(Y^2) $:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, usamos a fórmula da variância: