Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
x y fxy(x, y)
1,0 1 14
1,5 2 18
1,5 3 14
2,5 4 14
3 5 18
Determine o seguinte:
f) A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória X.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de probabilidade conjunta $ f_{XY}(x, y) $ que nos dá as probabilidades associadas a pares de valores das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição de probabilidades marginais da variável $ X $.
Conteúdo da matéria: Distribuições de probabilidade conjunta e marginal.
O que vamos precisar para resolver:
  • Saber o que é uma distribuição de probabilidade marginal.
  • Saber como calcular a distribuição marginal a partir da distribuição conjunta.

Passo 2

O que é uma distribuição de probabilidade marginal?
A distribuição marginal de uma variável aleatória, digamos $ X $, nos dá as probabilidades de cada valor possível de $ X $, independentemente do valor de $ Y $. Em outras palavras, é a probabilidade de $ X $ ocorrer sem considerar $ Y $.
Matematicamente, a distribuição marginal de $ X $ é calculada somando as probabilidades conjuntas $ f_{XY}(x, y) $ para todos os possíveis valores de $ Y $ para cada valor específico de $ X $:
X

Passo 3

Como aplicar isso no nosso caso?
Vamos identificar todos os pares $ (x, y) $ e suas respectivas probabilidades $ f_{XY}(x, y) $. Para cada valor de $ X $, somamos as probabilidades correspondentes a esse $ X $ independentemente do $ Y $.
Aqui está a tabela fornecida:
$ x $ $ y $ $ f_{XY}(x, y) $
1,0 1 $ \frac{1}{4} $
1,5 2 $ \frac{1}{8} $
1,5 3 $ \frac{1}{4} $
2,5 4 $ \frac{1}{4} $
3 5 $ \frac{1}{8} $

Passo 4

Calculando a distribuição marginal de $ X $:
Vamos identificar os diferentes valores que $ X $ pode assumir e somar as probabilidades correspondentes.
  1. Para $ X = 1,0 $:
    • Há apenas um par: $ (1,0, 1) $ com $ f_{XY}(1,0) = \frac{1}{4} $.
    X
  2. Para $ X = 1,5 $:
    • Existem dois pares: $ (1,5, 2) $ com $ f_{XY}(1,5, 2) = \frac{1}{8} $ e $ (1,5, 3) $ com $ f_{XY}(1,5, 3) = \frac{1}{4} $.
    X
  3. Para $ X = 2,5 $:
    • Há apenas um par: $ (2,5, 4) $ com $ f_{XY}(2,5) = \frac{1}{4} $.
    X = 1,0
  4. Para $ X = 3 $:
    • Há apenas um par: $ (3,5) $ com $ f_{XY}(3) = \frac{1}{8} $.
    (1,0, 1)

Passo 5

Verificando se a distribuição marginal está correta:
Vamos somar todas as probabilidades marginais de $ X $ para garantir que a soma total seja 1, como deve ser em qualquer distribuição de probabilidade.
X
Tudo está correto!

Resposta

A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória $ X $ é:
X á

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