Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
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1,0 | 1 |
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1,5 | 2 |
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1,5 | 3 |
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2,5 | 4 |
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3 | 5 |
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Determine o seguinte:
f) A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória .
f) A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de probabilidade conjunta $ f_{XY}(x, y) $ que nos dá as probabilidades associadas a pares de valores das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição de probabilidades marginais da variável $ X $.
Conteúdo da matéria: Distribuições de probabilidade conjunta e marginal.
O que vamos precisar para resolver:
- Saber o que é uma distribuição de probabilidade marginal.
- Saber como calcular a distribuição marginal a partir da distribuição conjunta.
Passo 2
O que é uma distribuição de probabilidade marginal?
A distribuição marginal de uma variável aleatória, digamos $ X $, nos dá as probabilidades de cada valor possível de $ X $, independentemente do valor de $ Y $. Em outras palavras, é a probabilidade de $ X $ ocorrer sem considerar $ Y $.
Matematicamente, a distribuição marginal de $ X $ é calculada somando as probabilidades conjuntas $ f_{XY}(x, y) $ para todos os possíveis valores de $ Y $ para cada valor específico de $ X $:
Passo 3
Como aplicar isso no nosso caso?
Vamos identificar todos os pares $ (x, y) $ e suas respectivas probabilidades $ f_{XY}(x, y) $. Para cada valor de $ X $, somamos as probabilidades correspondentes a esse $ X $ independentemente do $ Y $.
Aqui está a tabela fornecida:
$ x $ | $ y $ | $ f_{XY}(x, y) $ |
---|---|---|
1,0 | 1 | $ \frac{1}{4} $ |
1,5 | 2 | $ \frac{1}{8} $ |
1,5 | 3 | $ \frac{1}{4} $ |
2,5 | 4 | $ \frac{1}{4} $ |
3 | 5 | $ \frac{1}{8} $ |
Passo 4
Calculando a distribuição marginal de $ X $:
Vamos identificar os diferentes valores que $ X $ pode assumir e somar as probabilidades correspondentes.
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Para $ X = 1,0 $:
- Há apenas um par: $ (1,0, 1) $ com $ f_{XY}(1,0) = \frac{1}{4} $.
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Para $ X = 1,5 $:
- Existem dois pares: $ (1,5, 2) $ com $ f_{XY}(1,5, 2) = \frac{1}{8} $ e $ (1,5, 3) $ com $ f_{XY}(1,5, 3) = \frac{1}{4} $.
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Para $ X = 2,5 $:
- Há apenas um par: $ (2,5, 4) $ com $ f_{XY}(2,5) = \frac{1}{4} $.
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Para $ X = 3 $:
- Há apenas um par: $ (3,5) $ com $ f_{XY}(3) = \frac{1}{8} $.
Passo 5
Verificando se a distribuição marginal está correta:
Vamos somar todas as probabilidades marginais de $ X $ para garantir que a soma total seja 1, como deve ser em qualquer distribuição de probabilidade.
Tudo está correto!
Resposta
A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória $ X $ é: