Uma amostra de alunos, seleccionados ao acaso, de entre os inscritos nas unidades curriculares PE e AMII na ESTSetúbal, produziu as seguintes classificações num teste efectuado a meio do ano lectivo (em %):
AMII (xi) 56 50 72 67 31 50 65 40 80 61
PE (yi) 50 60 67 75 44 56 72 48 76 62
sum xi=572 sum xi^2=34716 sum xi yi=36335 sum yi=610 sum yi^2=38394
  1. Analise os dados e comente a possibilidade de existir uma relação linear entre as variáveis em estudo.
  2. A Joana e o António obtiveram, respectivamente, as seguintes notas no teste de AMII: 60 % e 20 %. Tendo ambos faltado ao teste de PE, sugira valores para as notas esperadas nos testes destes alunos. Indique, justificando, se os valores sugeridos são de confiança.
  3. A Maria obteve 70 % no teste de PE e ainda não conhece a nota do teste de AMII. Indique, justificando, uma estimativa da nota do teste de AMII da Maria.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma tabela com as notas de uma amostra de alunos nas disciplinas AMII e PE, além de alguns somatórios importantes. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, focando em Análise de Regressão Linear e Correlação. Para resolver as questões, vamos precisar calcular o coeficiente de correlação, ajustar uma reta de regressão e usar essas ferramentas para fazer previsões das notas.

Passo 2

Questão 1: Analisar a possibilidade de uma relação linear entre as variáveis AMII e PE.
Primeiro, precisamos verificar se existe uma relação linear entre as notas de AMII ( xi) e PE ( yi). Para isso, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ( r), que nos indica a força e a direção dessa relação.
A fórmula para o coeficiente de correlação é:
r = n sum xi yi - sum xi sum yiraiz[n sum xi^2 - (sum xi)^2][n sum yi^2 - (sum yi)^2]
Onde:
  • n é o número de observações.
  • sum xi yi, sum xi, sum yi, sum xi^2, sum yi^2 são os somatórios fornecidos.
Vamos substituir os valores:
n = 10 sum xi = 572 sum yi = 610 sum xi yi = 36335 sum xi^2 = 34716 sum yi^2 = 38394
Substituindo na fórmula:
r = 10 times 36335 - 572 times 610raiz[10 times 34716 - 572^2][10 times 38394 - 610^2] r = 363350 - 348920raiz[347160 - 327184][383940 - 372100] r = 14430raiz19976 times 11940 r = 14430raiz238,100,640 r = 1443015,431 approx 0.935
Um coeficiente de correlação próximo de 1 indica uma forte relação positiva entre as variáveis. Assim, podemos concluir que há uma possibilidade muito alta de existir uma relação linear entre as notas de AMII e PE.

Passo 3

Questão 2: Sugerir valores esperados para as notas de PE de Joana e António, sabendo que eles faltaram ao teste de PE.
Como a relação entre AMII e PE é forte e positiva, podemos usar a Regressão Linear Simples para prever as notas de PE a partir das notas de AMII. A fórmula da reta de regressão é:
y = a + b x
Onde:
  • b é o coeficiente angular, dado por:
b = r times SySx
  • a é o coeficiente linear, dado por:
a = y - b x
Primeiro, vamos calcular as médias de x e y:
x = sum xin = 57210 = 57.2 y = sum yin = 61010 = 61
Agora, calcular os desvios padrão de x ( Sx) e y ( Sy):
Sx = raizsum xi^2 - (sum xi)^2nn - 1 Sx = raiz34716 - 572^2109 Sx = raiz34716 - 327184/109 Sx = raiz34716 - 32718.49 Sx = raiz1997.69 approx raiz221.96 approx 14.9
Sy = raizsum yi^2 - (sum yi)^2nn - 1 Sy = raiz38394 - 610^2109 Sy = raiz38394 - 372100/109 Sy = raiz38394 - 372109 Sy = raiz11849 approx raiz131.56 approx 11.47
Agora, calcular b:
b = 0.935 times 11.4714.9 approx 10.7314.9 approx 0.720
E a:
a = 61 - 0.720 times 57.2 approx 61 - 41.184 approx 19.816
Então, a reta de regressão é:
y = 19.816 + 0.720 x
Agora, para a Joana e o António:
  • Joana: x = 60
    y = 19.816 + 0.720 times 60 = 19.816 + 43.2 = 63.016 approx 63%
  • António: x = 20
    y = 19.816 + 0.720 times 20 = 19.816 + 14.4 = 34.216 approx 34%
Confiabilidade dos Valores:
Apesar da forte correlação, devemos considerar alguns fatores antes de confiar totalmente nas previsões:
  1. Intervalo de Previsão: Se as notas de AMII dos alunos estão dentro do intervalo das notas da amostra original (31% a 80%), as previsões são mais confiáveis. No caso da António, com 20%, está fora desse intervalo, o que pode reduzir a precisão da previsão.
  2. Variabilidade dos Dados: Há sempre uma variabilidade que não é explicada pela linha de regressão. Portanto, essas são estimativas e podem não refletir exatamente as notas reais.

Passo 4

Questão 3: Estimar a nota de AMII da Maria, que obteve 70% em PE.
Vamos usar a mesma reta de regressão, mas agora precisamos inverter a relação para prever x a partir de y. A equação da regressão que tínhamos era:
y = 19.816 + 0.720 x
Para encontrar x, reorganizamos a equação:
x = y - 19.8160.720
Substituindo o valor de PE da Maria:
x = 70 - 19.8160.720 approx 50.1840.720 approx 69.7 approx 70%
Justificativa da Estimativa:
A previsão é baseada na mesma relação linear estabelecida inicialmente. Como Maria obteve uma nota de PE dentro do intervalo das notas da amostra original, a estimativa é mais confiável. No entanto, é importante lembrar que essa é uma estimativa e pode haver variações individuais.

Resposta

  1. Existe uma forte relação linear positiva entre as notas de AMII e PE.
  2. A Joana espera-se que tenha aproximadamente 63% em PE e o António cerca de 34%, embora a previsão para o António seja menos confiável por estar fora do intervalo original de dados.
  3. A estimativa para a nota de AMII da Maria é de aproximadamente 70%.

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