Relativamente a um conjunto de 10 dados bidimensionais, (X, Y ), sabe-se que
lll sum xi=160 & sum xi^2=2874 & sum xi yi=3496 sum yi=198 & sum yi^2=4324 &
  1. Calcule a média e a variância de X.
  2. Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y. Comente o resultado.
  3. Caso se justifique, determine a equação da recta de regressão de X sobre Y.
  4. Apresente um valor admissível para y quando x=16 e comente-o.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto com 10 pares de dados, cada um com valores de X e Y. A gente precisa resolver quatro perguntas envolvendo média, variância, coeficiente de correlação, reta de regressão e valor admissível para Y quando X é 16. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de estatística básicas, como média, variância, correlação e regressão linear.

Passo 2

1. Calcular a média de X:
A média ( barX) é a soma de todos os valores de X dividida pelo número de dados.
barX = sum xin = 16010 = 16
2. Calcular a variância de X:
A variância ( SX^2) mede o quanto os valores de X estão espalhados em relação à média. A fórmula é:
SX^2 = sum xi^2 - (sum xi)^2nn - 1
Substituindo os valores:
SX^2 = 2874 - 160^21010 - 1 = 2874 - 25609 = 3149 approx 34,89

Passo 3

3. Calcular o coeficiente de correlação entre X e Y:
O coeficiente de correlação ( r) indica a força e a direção da relação linear entre X e Y. A fórmula é:
r = n sum xi yi - sum xi sum yiraizn sum xi^2 - (sum xi)^2 raizn sum yi^2 - (sum yi)^2
Substituindo os valores:
r = 10 times 3496 - 160 times 198raiz10 times 2874 - 160^2 times raiz10 times 4324 - 198^2 = 34960 - 31680raiz28740 - 25600 times raiz43240 - 39204
Calculando:
r = 3280raiz3140 times raiz4036 = 328056,03 times 63,54 approx 32803560,5 approx 0,92
Comentário: O valor de r approx 0,92 indica uma forte correlação positiva entre X e Y, ou seja, conforme X aumenta, Y tende a aumentar também de forma consistente.

Passo 4

4. Determinar a equação da reta de regressão de X sobre Y:
A reta de regressão de X sobre Y tem a forma:
X = a + bY
Onde:
b = n sum xi yi - sum xi sum yin sum yi^2 - (sum yi)^2
a = barX - b barY
Primeiro, calculamos b:
b = 10 times 3496 - 160 times 19810 times 4324 - 198^2 = 34960 - 3168043240 - 39204 = 32804036 approx 0,812
Agora, calculamos barY:
barY = sum yin = 19810 = 19,8
Então:
a = 16 - 0,812 times 19,8 approx 16 - 16,08 approx -0,08
Equação da reta de regressão:
X = -0,08 + 0,812Y

Resposta

  1. Média de X: 16
    Variância de X: aproximadamente 34,89
  2. Coeficiente de correlação entre X e Y: 0,92
    Comentário: Há uma forte correlação positiva entre X e Y.
  3. Equação da reta de regressão de X sobre Y:
    X = -0,08 + 0,812Y
  4. Valor admissível para Y quando X = 16:
    Substituindo na equação da regressão:
    16 = -0,08 + 0,812Y Rightarrow Y approx 16 + 0,080,812 approx 19,8
    Comentário: Quando X = 16, o valor admissível para Y é aproximadamente 19,8.

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