Na tabela seguinte está registada a percentagem da população com mais de 65 anos e a taxa de mortalidade (em permilagem) por distritos (dados de 1990):
Distrito População com mais de 65 anos (%) Tx. Mortalidade (%)
Aveiro 11.0 8.3
Beja 18.2 13.7
Braga 9.1 7.4
C. Branco 19.8 13.3
Evora 16.3 12.2
Guarda 19.0 13.4
Portalegra 20.1 13.8
Setúbal 10.7 7.2
Vila Real 13.0 10.6
Viseu 14.6 10.9
sumi=1^10 xi=151.8 sumi=1^10 yi=110.8 sumi=1^10 xi yi=1776.14 sumi=1^10 xi^2=2454.44
  1. Identifique a variável dependente e independente e represente os dados através de um diagrama de dispersão. Comente o diagrama com vista a um possível ajustamento de uma recta de regressão linear simples.
  2. Ajuste uma recta de regressão aos dados.
  3. Qual a taxa de mortalidade prevista para um distrito em que a percentagem de população com mais de 65 anos é igual a 20? Comente, justificando, a qualidade da previsão efectuada.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com dados de 10 distritos de 1990, mostrando a percentagem da população com mais de 65 anos e a taxa de mortalidade em cada distrito. A matéria que vamos usar aqui é de Regressão Linear Simples, que ajuda a entender a relação entre duas variáveis.
Para resolver isso, precisamos identificar qual das duas variáveis é a independente e qual é a dependente. Também vamos precisar organizar esses dados em um diagrama de dispersão para ver se dá para ajustar uma reta que descreva bem essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis:
  • Variável independente (x): Percentagem da população com mais de 65 anos.
  • Variável dependente (y): Taxa de mortalidade.
Agora, vamos representar esses dados em um diagrama de dispersão. Imagina um gráfico onde no eixo horizontal (x) colocamos a percentagem da população com mais de 65 anos e no eixo vertical (y) a taxa de mortalidade. Cada ponto no gráfico representa um distrito.
Observando os pontos no gráfico, parece que há uma tendência de que, conforme aumenta a percentagem de população idosa, a taxa de mortalidade também aumenta. Isso sugere que podemos ajustar uma reta de regressão linear simples para modelar essa relação.

Passo 3

Para ajustar a reta de regressão, usamos a fórmula da regressão linear simples:
y = a + b x
Onde:
  • $ b = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - (\sum x)^2} $
  • $ a = \frac{\sum y - b \sum x}{n} $
Vamos calcular os valores:
Dados:
  • $ n = 10 $
  • $ \sum x = 151.8 $
  • $ \sum y = 110.8 $
  • $ \sum xy = 1776.14 $
  • $ \sum x^2 = 2454.44 $
Calculando $ b $:
b = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2
Fazendo as contas:
a = sum y - b sum xn
Agora, calculando $ a $:
n = 10
Então, a equação da reta de regressão fica:
sum x = 151.8

Passo 4

Agora, vamos prever a taxa de mortalidade para um distrito onde a percentagem da população com mais de 65 anos é 20%.
Usando a equação da reta:
y = 1.395 + 0.639 times 20 = 1.395 + 12.78 = 14.175
Então, a taxa de mortalidade prevista é aproximadamente 14.18 permilagem.

Passo 5

Para comentar sobre a qualidade dessa previsão, observamos que a previsão está dentro do intervalo dos dados fornecidos (as taxas de mortalidade variam de 7.2 a 13.8 permilagem). No entanto, como a percentagem de 20% está um pouco além da média dos dados (151.8 / 10 = 15.18%), estamos fazendo uma previsão um pouco extrapolada. Isso significa que a confiança na precisão dessa previsão pode ser menor, pois estamos fora do intervalo observado nos dados originais.

Resposta

A taxa de mortalidade prevista para um distrito com 20% da população com mais de 65 anos é aproximadamente 14.18 permilagem.

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