Na tabela seguinte está registada a percentagem da população com mais de 65 anos e a taxa de mortalidade (em permilagem) por distritos (dados de 1990):
Distrito | População com mais de 65 anos (%) | Tx. Mortalidade (%) |
---|---|---|
Aveiro | 11.0 | 8.3 |
Beja | 18.2 | 13.7 |
Braga | 9.1 | 7.4 |
C. Branco | 19.8 | 13.3 |
Evora | 16.3 | 12.2 |
Guarda | 19.0 | 13.4 |
Portalegra | 20.1 | 13.8 |
Setúbal | 10.7 | 7.2 |
Vila Real | 13.0 | 10.6 |
Viseu | 14.6 | 10.9 |
- Identifique a variável dependente e independente e represente os dados através de um diagrama de dispersão. Comente o diagrama com vista a um possível ajustamento de uma recta de regressão linear simples.
- Ajuste uma recta de regressão aos dados.
- Qual a taxa de mortalidade prevista para um distrito em que a percentagem de população com mais de 65 anos é igual a 20? Comente, justificando, a qualidade da previsão efectuada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com dados de 10 distritos de 1990, mostrando a percentagem da população com mais de 65 anos e a taxa de mortalidade em cada distrito. A matéria que vamos usar aqui é de Regressão Linear Simples, que ajuda a entender a relação entre duas variáveis.
Para resolver isso, precisamos identificar qual das duas variáveis é a independente e qual é a dependente. Também vamos precisar organizar esses dados em um diagrama de dispersão para ver se dá para ajustar uma reta que descreva bem essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis:
- Variável independente (x): Percentagem da população com mais de 65 anos.
- Variável dependente (y): Taxa de mortalidade.
Agora, vamos representar esses dados em um diagrama de dispersão. Imagina um gráfico onde no eixo horizontal (x) colocamos a percentagem da população com mais de 65 anos e no eixo vertical (y) a taxa de mortalidade. Cada ponto no gráfico representa um distrito.
Observando os pontos no gráfico, parece que há uma tendência de que, conforme aumenta a percentagem de população idosa, a taxa de mortalidade também aumenta. Isso sugere que podemos ajustar uma reta de regressão linear simples para modelar essa relação.
Passo 3
Para ajustar a reta de regressão, usamos a fórmula da regressão linear simples:
Onde:
- $ b = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - (\sum x)^2} $
- $ a = \frac{\sum y - b \sum x}{n} $
Vamos calcular os valores:
Dados:
- $ n = 10 $
- $ \sum x = 151.8 $
- $ \sum y = 110.8 $
- $ \sum xy = 1776.14 $
- $ \sum x^2 = 2454.44 $
Calculando $ b $:
Fazendo as contas:
Agora, calculando $ a $:
Então, a equação da reta de regressão fica:
Passo 4
Agora, vamos prever a taxa de mortalidade para um distrito onde a percentagem da população com mais de 65 anos é 20%.
Usando a equação da reta:
Então, a taxa de mortalidade prevista é aproximadamente 14.18 permilagem.
Passo 5
Para comentar sobre a qualidade dessa previsão, observamos que a previsão está dentro do intervalo dos dados fornecidos (as taxas de mortalidade variam de 7.2 a 13.8 permilagem). No entanto, como a percentagem de 20% está um pouco além da média dos dados (151.8 / 10 = 15.18%), estamos fazendo uma previsão um pouco extrapolada. Isso significa que a confiança na precisão dessa previsão pode ser menor, pois estamos fora do intervalo observado nos dados originais.
Resposta
A taxa de mortalidade prevista para um distrito com 20% da população com mais de 65 anos é aproximadamente 14.18 permilagem.