Uma amostra de 4 anos forneceu os seguintes dados sobre a emissão de CO2 (Y, em ton) e PIB (X, em bilhões de US$ correntes). Estime e interprete os coeficientes do modelo por MQO supondo que a relação entre as variáveis seja dada pelas formas funcionais:
\mathbf{Y} 5 7 9 10
\mathbf{X} 10 12 14 16
a) Log-Lin
b) Lin-Log
c) Log-Log
d) Calcule e interprete o coeficiente de determinação do modelo Log-Log \left(\mathrm{R}^{2}\right).
e) Qual a emissão de CO2 estimada para uma país com renda equivalente a US$ 15 bilhões?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=4 observações de emissões de \text{CO}_2 ( Y, em toneladas) e PIB ( X, em bilhões de US$) e pede para estimar, por MQO, os modelos com diferentes transformações: log–lin, lin–log e log–log. Depois, calcular o coeficiente de determinação do modelo log–log e usar esse mesmo modelo para prever Y quando X=15. O conteúdo é regressão linear simples com variáveis transformadas e interpretação de semielasticidades e elasticidades.

Passo 2

Primeiro, montamos as transformações e calculamos médias:
\quad
i =1: X_1=10,\;Y_1=5,\;\ln X_1=2{,}3026,\;\ln Y_1=1{,}6094
i =2: X_2=12,\;Y_2=7,\;\ln X_2=2{,}4849,\;\ln Y_2=1{,}9459
i =3: X_3=14,\;Y_3=9,\;\ln X_3=2{,}6391,\;\ln Y_3=2{,}1972
i =4: X_4=16,\;Y_4=10,\;\ln X_4=2{,}7726,\;\ln Y_4=2{,}3026
Médias:
\displaystyle \bar X=13,\quad \bar Y=7{,}75,\quad \overline{\ln X}=2{,}5498,\quad \overline{\ln Y}=2{,}0138.

Passo 3

Modelo log–lin:
\ln Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i.
As fórmulas MQO dão
\hat\beta_1 =\frac{\sum (X_i-\bar X)(\ln Y_i-\overline{\ln Y})}{\sum (X_i-\bar X)^2} =\frac{2{,}3308}{20} =0{,}1165, \quad \hat\beta_0 =\overline{\ln Y}-\hat\beta_1\,\bar X =2{,}0138-0{,}1165\cdot13 =0{,}4988.
Interpretação: em um modelo log–lin, \beta_1 mede a variação percentual aproximada de Y dada uma variação unitária em X. Aqui, um aumento de 1 bilhão de PIB está associado a um aumento de cerca de 100\times0{,}1165=11{,}65\% nas emissões de CO _2.

Passo 4

Modelo lin–log:
Y_i = \beta_0 + \beta_1\ln X_i + u_i.
Calcula-se
\hat\beta_1 =\frac{\sum (\ln X_i-\overline{\ln X})(Y_i-\bar Y)}{\sum (\ln X_i-\overline{\ln X})^2} =\frac{1{,}3406}{0{,}12293} \approx10{,}90, \quad \hat\beta_0 =\bar Y-\hat\beta_1\,\overline{\ln X} =7{,}75-10{,}90\cdot2{,}5498 \approx -20{,}05.
Interpretação: em um modelo lin–log, \beta_1 mede a variação absoluta de Y para um aumento percentual de 1% em X. Aqui, um aumento de 1% no PIB implica em um acréscimo de aproximadamente 0{,}01\times10{,}90=0{,}109 toneladas de CO _2.

Passo 5

Modelo log–log:
\ln Y_i = \beta_0 + \beta_1\ln X_i + u_i.
As estimativas são
\hat\beta_1 =\frac{\sum (\ln X_i-\overline{\ln X})(\ln Y_i-\overline{\ln Y})}{\sum (\ln X_i-\overline{\ln X})^2} =\frac{0{,}18509}{0{,}12293} \approx1{,}5055, \quad \hat\beta_0 =\overline{\ln Y}-\hat\beta_1\,\overline{\ln X} \approx2{,}0138-1{,}5055\cdot2{,}5498 \approx -1{,}823.
Interpretação: em um modelo log–log, \beta_1 é a elasticidade de Y em relação a X. Aqui, um aumento de 1% no PIB implica em um aumento de 1{,}5055\% nas emissões de CO _2.

Passo 6

Coeficiente de determinação ( R^2) do log–log:
\mathrm{SST}=\sum(\ln Y_i-\overline{\ln Y})^2=0{,}28521, \quad \mathrm{SSR}=\hat\beta_1^2\sum(\ln X_i-\overline{\ln X})^2 \approx0{,}27874,
R^2=\frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}} \approx\frac{0{,}27874}{0{,}28521} \approx0{,}977.
Interpretação: cerca de 97,7% da variação de \ln Y é explicada por \ln X.

Passo 7

Previsão de emissões para X=15 usando o modelo log–log:
\ln\hat Y =\hat\beta_0+\hat\beta_1\ln(15) \approx -1{,}823+1{,}5055\cdot2{,}7081 \approx2{,}252,
\hat Y = e^{2{,}252}\approx9{,}50\text{ toneladas}.
Interpretação: para um PIB de 15 bilhões, o modelo prevê cerca de 9,5 toneladas de CO _2.

Resposta

a) log–lin:
\displaystyle \ln Y=0{,}4988+0{,}1165\,X, \beta_1\approx0{,}1165\implies 1 bilhão de USD a mais no PIB aumenta CO _2 em \approx 11,65%.
b) lin–log:
\displaystyle Y=-20{,}05+10{,}90\,\ln X, \beta_1\approx10{,}90\implies 1% a mais no PIB eleva CO _2 em \approx 0,109 t.
c) log–log:
\displaystyle \ln Y=-1{,}823+1{,}5055\,\ln X, \beta_1\approx1{,}5055\implies elasticidade de CO _2 em relação ao PIB é 1,5055.
d) R^2_{\text{log–log}}\approx0{,}977 ( 97,7% da variação explicada).
e) Para X=15, \hat Y\approx9{,}50 ton.

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