Questão 1. Uma máquina enche pacotes de café com um peso que se comporta como uma variável aleatória Normal de média 200 gramas e desvio padrão 10 gramas.
(a) Qual é a probabilidade de um pacote sorteado ter peso entre 195 gramas e 205 gramas?
(b) Qual a distribuição de probabilidade (com quais parâmetros) do peso médio amostral de pacotes de café?
(c) Uma amostra de 25 pacotes é sorteada e pergunta-se qual é a probabilidade de que o peso médio dos pacotes estar entre 205 gramas e 210 gramas?
(d) Calcule novamente o item c) supondo que a amostra tem tamanho 16.

Passo 1

O enunciado diz que o peso X de um pacote segue \mathcal{N}(200,10^2). Precisamos calcular
(a) P(195\le X\le205),
(b) a distribuição da média amostral \bar X,
(c) em n=25, P(205\le\bar X\le210),
(d) em n=16, mesma probabilidade.
Vamos usar padronização e a distribuição da média amostral.

Passo 2

Para calcular P(195 \le X \le 205) usamos a padronização
Z = \frac{X-200}{10}.
Para x_1=195 obtemos z_1=\frac{195-200}{10}=-0{,}5 e para x_2=205 obtemos z_2=0{,}5. Assim,
P(195 \le X \le 205) = \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) = 2\Phi(0{,}5)-1 \approx 2\cdot0{,}69146 -1 = 0{,}3829.

Passo 3

Para a média amostral \bar X de tamanho n, como X é normal, vale
\bar X \sim N\!\Bigl(200,\;\frac{10}{\sqrt{n}}\Bigr).

Passo 4

Com n=25 temos \sigma_{\bar X}=10/\sqrt{25}=2. Padronizando os limites 205 e 210:
z_a = \frac{205-200}{2}=2{,}5,\quad z_b=\frac{210-200}{2}=5.
Logo,
P(205 \le \bar X \le 210) = \Phi(5) - \Phi(2{,}5) \approx 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062.

Passo 5

Com n=16 temos \sigma_{\bar X}=10/\sqrt{16}=2{,}5. Padronizando:
z_a = \frac{205-200}{2{,}5}=2,\quad z_b=\frac{210-200}{2{,}5}=4.
Então,
P(205 \le \bar X \le 210) = \Phi(4) - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}97725 = 0{,}0228.

Resposta

(a) 0{,}3829
(b) \bar X \sim N\!\bigl(200,10/\sqrt{n}\bigr)
(c) 0{,}0062
(d) 0{,}0228

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