Questão 6. Suponha que para um certo tipo de automóvel o consumo de combustível tenha distribuição normal. Para estimar o consumo médio de combustível dos automóveis desse tipo, coletou-se uma amostra de 20 automóveis dese modelo, obtendo para essa amostra um consumo médio de 9,3 \mathrm{~km} / \mathrm{l} e desvio padrão de 2 \mathrm{~km} / \mathrm{l}.
a) Construa e interprete o intervalo de confiança de 95 \% para o consumo médio de combustível desses carros.
b) Construa novamente o intervalo de confiança assumindo que um estudo anterior indicou que o desvio padrão do consumo de combustível é igual a 2,5 \mathrm{~km} / \mathrm{l}.

Passo 1

O enunciado descreve uma amostra de tamanho n=20 de consumos (em km/l) com média amostral \bar x=9,3 e desvio padrão amostral s=2. O consumo segue distribuição normal. Vamos construir intervalos de confiança de 95\% para a média \mu em dois cenários: (a) \sigma desconhecido, usando t; (b) \sigma conhecido ( \sigma=2,5), usando z.

Passo 2

Para \sigma desconhecido, o intervalo de confiança de nível 1-\alpha=0,95 é dado por
\bar x \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil 1-\alpha/2 da t de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Aqui \alpha=0,05, n-1=19 e t_{0,975,19}\approx2,093. Calculando a margem de erro:
E = 2,093\;\frac{2}{\sqrt{20}} =2,093\;\frac{2}{4,472} \approx0,94.

Passo 4

O intervalo de confiança fica
9,3 \pm 0,94 \;\Longrightarrow\; [\,9,3-0,94,\;9,3+0,94\,] =[\,8,36,\;10,24\,].

Passo 5

Interpretação: temos 95% de confiança de que o verdadeiro consumo médio \mu está entre 8,36 km/l e 10,24 km/l. Isso significa que, em experimentos repetidos, 95% dos intervalos construídos dessa forma conteriam \mu.

Passo 6

Se \sigma é conhecido e vale 2,5, usamos o quantil normal z_{0,975}=1,96. A fórmula é
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
e a margem de erro é
E' = 1,96\;\frac{2,5}{\sqrt{20}} =1,96\;\frac{2,5}{4,472} \approx1,10.

Passo 7

O novo intervalo de confiança de 95% é
9,3 \pm 1,10 \;\Longrightarrow\; [\,9,3-1,10,\;9,3+1,10\,] =[\,8,20,\;10,40\,].

Resposta

a) [\,8,36,\;10,24\,] km/l é o intervalo de confiança de 95% para \mu quando \sigma é desconhecido.
b) [\,8,20,\;10,40\,] km/l é o intervalo de confiança de 95% para \mu quando \sigma=2,5.

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