- Em uma amostra com a auditoria anual, uma firma de contabilidade pública anota o tempo necessário para realizar a auditoria de 50 balanços contábeis, tal como indicado na Tabela.
Tempo
f
Ponto médio (x)
20|-- 30
8
30|-- 40
10
40|-- 50
12
50|-- 60
20
Total
50
Pede-se:
a) Complete a tabela.
b) Calcule a moda, a média e a mediana.
c) Acima de que valor encontra-se
do tempo de auditoria?
Tempo | f | Ponto médio (x) |
|
|
|
|
20|-- 30 | 8 | |||||
30|-- 40 | 10 | |||||
40|-- 50 | 12 | |||||
50|-- 60 | 20 | |||||
Total | 50 |
b) Calcule a moda, a média e a mediana.
c) Acima de que valor encontra-se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de estatística, mais especificamente de análise de frequência com uma tabela de distribuição de dados. Temos uma tabela com intervalos de tempo e a frequência (f) de auditorias realizadas nesses intervalos. Nosso objetivo é completar essa tabela e calcular algumas medidas como moda, média e mediana, além de descobrir acima de que valor está 80% do tempo de auditoria. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de frequência relativa, pontos médios, média ponderada, moda e mediana.
Passo 2
Primeiro, vamos completar a tabela. Para isso, precisamos encontrar:
-
Ponto médio (x): É a média dos limites inferior e superior de cada intervalo. Calcula-se assim:
. -
x * f: Multiplicamos o ponto médio (x) pela frequência (f) de cada intervalo.
-
Frequência relativa (%) (f₍ᵣ%₎): É a porcentagem que cada frequência representa em relação ao total. Calcula-se:
. -
Frequência acumulada (F_ACUM): É a soma das frequências até aquele intervalo.
-
Frequência acumulada relativa (%) (F_racumulada%): É a soma das frequências relativas até aquele intervalo.
Vamos calcular cada um desses passo a passo para cada intervalo.
Passo 3
1. Calculando o Ponto Médio (x):
- 20-30:
- 30-40:
- 40-50:
- 50-60:
2. Calculando x * f:
- 20-30:
- 30-40:
- 40-50:
- 50-60:
3. Calculando a Frequência Relativa (%) (f₍ᵣ%₎):
O total de auditorias é 50.
- 20-30:
- 30-40:
- 40-50:
- 50-60:
4. Calculando a Frequência Acumulada (F_ACUM):
- 20-30: 8
- 30-40: 8 + 10 = 18
- 40-50: 18 + 12 = 30
- 50-60: 30 + 20 = 50
5. Calculando a Frequência Acumulada Relativa (%) (F_racumulada%):
- 20-30: 16%
- 30-40: 16% + 20% = 36%
- 40-50: 36% + 24% = 60%
- 50-60: 60% + 40% = 100%
Passo 4
Agora, vamos preencher a tabela com os valores calculados:
Passo 5
Parte b: Calculando a Moda, a Média e a Mediana
-
Moda:A moda é o valor ou intervalo que mais se repete. Observando a coluna de frequência (f), o maior valor de f é 20, que ocorre no intervalo 50-60. Portanto, a moda está nesse intervalo, ou seja, entre 50 e 60 minutos.
-
Média:A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações. Já calculamos
para cada intervalo e a soma total é 2200.
-
Mediana:A mediana é o valor que divide o conjunto de dados em duas partes iguais. Como temos 50 observações, a mediana será a média das 25ª e 26ª observações.Observando a frequência acumulada:
- Até 30 minutos: 8 auditorias
- Até 40 minutos: 18 auditorias
- Até 50 minutos: 30 auditorias
A 25ª e 26ª auditorias estão no intervalo 40-50 minutos.Para encontrar a mediana, usamos a fórmula:
Onde:
-
= Limite inferior do intervalo mediano = 40 -
= Total de observações = 50 -
= Frequência acumulada antes do intervalo mediano = 18 -
= Frequência do intervalo mediano = 12 -
= Amplitude do intervalo = 10
Substituindo:
Passo 6
Parte c: Acima de que valor está 80% do tempo de auditoria?
Queremos encontrar o valor acima do qual 80% do tempo de auditoria está. Isso significa que 20% das auditorias estão abaixo desse valor.
Usando a tabela de frequência acumulada relativa:
- Até 30 minutos: 16%
- Até 40 minutos: 36%
Queremos o ponto onde 20% estão abaixo. Vemos que 16% estão até 30 minutos e precisamos chegar a 20%.
Vamos usar a fórmula da interpolação linear:
Portanto, acima de 34 minutos está 80% do tempo de auditoria.
Resposta
a) A tabela completa está preenchida conforme mostrado acima.
b)
- Moda: Intervalo 50-60 minutos
- Média: 44 minutos
- Mediana: Aproximadamente 45,83 minutos
c) Acima de 34 minutos encontra-se 80% do tempo de auditoria.