1. Em uma amostra com a auditoria anual, uma firma de contabilidade pública anota o tempo necessário para realizar a auditoria de 50 balanços contábeis, tal como indicado na Tabela.
Tempo f Ponto médio (x)
20|-- 30 8
30|-- 40 10
40|-- 50 12
50|-- 60 20
Total 50

Pede-se:

a) Complete a tabela.
b) Calcule a moda, a média e a mediana.
c) Acima de que valor encontra-se do tempo de auditoria?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de estatística, mais especificamente de análise de frequência com uma tabela de distribuição de dados. Temos uma tabela com intervalos de tempo e a frequência (f) de auditorias realizadas nesses intervalos. Nosso objetivo é completar essa tabela e calcular algumas medidas como moda, média e mediana, além de descobrir acima de que valor está 80% do tempo de auditoria. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de frequência relativa, pontos médios, média ponderada, moda e mediana.

Passo 2

Primeiro, vamos completar a tabela. Para isso, precisamos encontrar:
  1. Ponto médio (x): É a média dos limites inferior e superior de cada intervalo. Calcula-se assim: x = Limite inferior + Limite superior2 .
  2. x * f: Multiplicamos o ponto médio (x) pela frequência (f) de cada intervalo.
  3. Frequência relativa (%) (f₍ᵣ%₎): É a porcentagem que cada frequência representa em relação ao total. Calcula-se: fr% = ( fTotal ) times 100 .
  4. Frequência acumulada (F_ACUM): É a soma das frequências até aquele intervalo.
  5. Frequência acumulada relativa (%) (F_racumulada%): É a soma das frequências relativas até aquele intervalo.
Vamos calcular cada um desses passo a passo para cada intervalo.

Passo 3

1. Calculando o Ponto Médio (x):
  • 20-30: x = 20 + 302 = 25
  • 30-40: x = 30 + 402 = 35
  • 40-50: x = 40 + 502 = 45
  • 50-60: x = 50 + 602 = 55
2. Calculando x * f:
  • 20-30: 25 times 8 = 200
  • 30-40: 35 times 10 = 350
  • 40-50: 45 times 12 = 540
  • 50-60: 55 times 20 = 1100
3. Calculando a Frequência Relativa (%) (f₍ᵣ%₎):
O total de auditorias é 50.
  • 20-30: ( 850 ) times 100 = 16%
  • 30-40: ( 1050 ) times 100 = 20%
  • 40-50: ( 1250 ) times 100 = 24%
  • 50-60: ( 2050 ) times 100 = 40%
4. Calculando a Frequência Acumulada (F_ACUM):
  • 20-30: 8
  • 30-40: 8 + 10 = 18
  • 40-50: 18 + 12 = 30
  • 50-60: 30 + 20 = 50
5. Calculando a Frequência Acumulada Relativa (%) (F_racumulada%):
  • 20-30: 16%
  • 30-40: 16% + 20% = 36%
  • 40-50: 36% + 24% = 60%
  • 50-60: 60% + 40% = 100%

Passo 4

Agora, vamos preencher a tabela com os valores calculados:

Passo 5

Parte b: Calculando a Moda, a Média e a Mediana
  1. Moda:
    A moda é o valor ou intervalo que mais se repete. Observando a coluna de frequência (f), o maior valor de f é 20, que ocorre no intervalo 50-60. Portanto, a moda está nesse intervalo, ou seja, entre 50 e 60 minutos.
  2. Média:
    A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações. Já calculamos x times f para cada intervalo e a soma total é 2200.
Média = sum (x times f)Total de f = 220050 = 44 minutos é
  1. Mediana:
    A mediana é o valor que divide o conjunto de dados em duas partes iguais. Como temos 50 observações, a mediana será a média das 25ª e 26ª observações.
    Observando a frequência acumulada:
    • Até 30 minutos: 8 auditorias
    • Até 40 minutos: 18 auditorias
    • Até 50 minutos: 30 auditorias
    A 25ª e 26ª auditorias estão no intervalo 40-50 minutos.
    Para encontrar a mediana, usamos a fórmula:
Mediana = L + ( n2 - Ff ) times c
Onde:
  • L = Limite inferior do intervalo mediano = 40
  • n = Total de observações = 50
  • F = Frequência acumulada antes do intervalo mediano = 18
  • f = Frequência do intervalo mediano = 12
  • c = Amplitude do intervalo = 10
Substituindo:
Mediana = 40 + ( 25 - 1812 ) times 10 = 40 + ( 712 ) times 10 approx 40 + 5,83 = 45,83 minutos

Passo 6

Parte c: Acima de que valor está 80% do tempo de auditoria?
Queremos encontrar o valor acima do qual 80% do tempo de auditoria está. Isso significa que 20% das auditorias estão abaixo desse valor.
Usando a tabela de frequência acumulada relativa:
  • Até 30 minutos: 16%
  • Até 40 minutos: 36%
Queremos o ponto onde 20% estão abaixo. Vemos que 16% estão até 30 minutos e precisamos chegar a 20%.
Vamos usar a fórmula da interpolação linear:
L = Limite inferior do intervalo = 30
CF = Frequência acumulada antes = 16% ê
f = Frequência do intervalo = 10 ê
c = Amplitude do intervalo = 10
Valor buscado = L + ( 20% - 16%10% ) times c = 30 + ( 410 ) times 10 = 30 + 4 = 34 minutos
Portanto, acima de 34 minutos está 80% do tempo de auditoria.

Resposta

a) A tabela completa está preenchida conforme mostrado acima.
b)
  • Moda: Intervalo 50-60 minutos
  • Média: 44 minutos
  • Mediana: Aproximadamente 45,83 minutos
c) Acima de 34 minutos encontra-se 80% do tempo de auditoria.

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