Da experiência passada sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças de quinta série do primeiro grau é 5 cm . Tomando-se uma amostra de 36 crianças, observou-se média de 150 cm . ( 6 pontos)
a) Qual a probabilidade de crianças com altura média acima de 148 cm ? (1 pontos)
b) Qual o intervalo de confiança de
para a média populacional? Interprete o resultado. (2 pontos)
c) Qual o erro cometido na sua estimativa (letra c)? Compare este erro com o erro do item d. (1 ponto)
d) Que tamanho deve ter uma amostra para que o erro seja de no máximo 3 cm e com nível de confiança de
? (1 pontos)
e) Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo
tenha
de confiança? (1 pontos)
a) Qual a probabilidade de crianças com altura média acima de 148 cm ? (1 pontos)
b) Qual o intervalo de confiança de
c) Qual o erro cometido na sua estimativa (letra c)? Compare este erro com o erro do item d. (1 ponto)
d) Que tamanho deve ter uma amostra para que o erro seja de no máximo 3 cm e com nível de confiança de
e) Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo
Passo 1
E aí, vamos lá! Resumindo o enunciado: a gente sabe que a altura de crianças tem desvio‐padrão populacional σ = 5 cm. Pegamos uma amostra de n = 36 crianças e achamos média amostral \bar x = 150 cm. O conteúdo é inferência estatística: distribuição amostral da média, probabilidade, intervalo de confiança, margem de erro e cálculo de tamanho de amostra. Para resolver precisamos usar a distribuição normal (z‐score), tabelas de Φ e as fórmulas de IC e de n.
Passo 2
Item (a): Probabilidade de \bar X > 148 cm
- Teoria: quando σ é conhecido e n é razoavelmente grande, a distribuição da média amostral é
. - Aqui
é desconhecida, mas a gente supõe que o valor esperado é a média real. Para cálculo de probabilidade, padrão é usar a diferença em relação à média hipotética. - Z‐score:
- Então
Passo 3
Item (b): Intervalo de confiança de 98 % para a média
- Teoria: com σ conhecido, o IC de nível
é
- Para 98 %,
então e . - A margem de erro é
- Logo o IC é
- Interpretação informal: “Se a gente fizesse muuuitas amostras de 36, cerca de 98 % desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional.”
Passo 4
Item (c): Erro cometido na estimativa (margem de erro do item b)
A margem de erro que saiu em (b) foi cerca de cm. No item (d) a gente vai admitir um erro máximo de 3 cm. Logo, o erro que já tínhamos (1,94 cm) é menor do que o erro-alvo de 3 cm.
A margem de erro que saiu em (b) foi cerca de
Passo 5
Item (d): Tamanho da amostra para erro ≤ 3 cm com 98 % de confiança
- Teoria: para erro
,
- Aqui
, σ=5, E=3:
- Arredondando para cima,
.
Passo 6
Item (e): Tamanho da amostra para IC
com 95 % de confiança
- Agora nível 95 % →
e . Queremos .
Resposta
a) 0,9918
b) [148,06 cm; 151,94 cm]
c) margem de erro ≈ 1,94 cm (menor que 3 cm)
d) n = 16
e) n = 100
b) [148,06 cm; 151,94 cm]
c) margem de erro ≈ 1,94 cm (menor que 3 cm)
d) n = 16
e) n = 100