Da experiência passada sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças de quinta série do primeiro grau é 5 cm . Tomando-se uma amostra de 36 crianças, observou-se média de 150 cm . ( 6 pontos)
a) Qual a probabilidade de crianças com altura média acima de 148 cm ? (1 pontos)
b) Qual o intervalo de confiança de 98 % para a média populacional? Interprete o resultado. (2 pontos)
c) Qual o erro cometido na sua estimativa (letra c)? Compare este erro com o erro do item d. (1 ponto)
d) Que tamanho deve ter uma amostra para que o erro seja de no máximo 3 cm e com nível de confiança de 98 % ? (1 pontos)
e) Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo 150 pm 0,98 tenha 95 % de confiança? (1 pontos)

Passo 1

E aí, vamos lá! Resumindo o enunciado: a gente sabe que a altura de crianças tem desvio‐padrão populacional σ = 5 cm. Pegamos uma amostra de n = 36 crianças e achamos média amostral \bar x = 150 cm. O conteúdo é inferência estatística: distribuição amostral da média, probabilidade, intervalo de confiança, margem de erro e cálculo de tamanho de amostra. Para resolver precisamos usar a distribuição normal (z‐score), tabelas de Φ e as fórmulas de IC e de n.

Passo 2

Item (a): Probabilidade de \bar X > 148 cm
  1. Teoria: quando σ é conhecido e n é razoavelmente grande, a distribuição da média amostral é
    bar Xsim Nl(mu,;sigma/raiz nr).
  2. Aqui mu é desconhecida, mas a gente supõe que o valor esperado é a média real. Para cálculo de probabilidade, padrão é usar a diferença em relação à média hipotética.
  3. Z‐score:
z=148 - 1505/raiz36 =-25/6 =-20,8333 approx -2,40
  1. Então
P(bar X>148) =1 - Phi(-2,40) =Phi(2,40) approx 0,9918

Passo 3

Item (b): Intervalo de confiança de 98 % para a média
  1. Teoria: com σ conhecido, o IC de nível 1-alpha é
bar x pm zalpha/2,sigmaraiz n
  1. Para 98 %, alpha=0,02 então alpha/2=0,01 e z0,01=2,3263.
  2. A margem de erro é
E =2,3263;5raiz36 =2,3263cdot0,8333 approx1,94 cm
  1. Logo o IC é
150 pm 1,94 ;longrightarrow; [148,06,;151,94] cm
  1. Interpretação informal: “Se a gente fizesse muuuitas amostras de 36, cerca de 98 % desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional.”

Passo 4

Item (c): Erro cometido na estimativa (margem de erro do item b)
A margem de erro que saiu em (b) foi cerca de Eapprox1,94 cm. No item (d) a gente vai admitir um erro máximo de 3 cm. Logo, o erro que já tínhamos (1,94 cm) é menor do que o erro-alvo de 3 cm.

Passo 5

Item (d): Tamanho da amostra para erro ≤ 3 cm com 98 % de confiança
  1. Teoria: para erro E,
n ;=;l(zalpha/2,sigmaEr)^2
  1. Aqui z0,01=2,3263, σ=5, E=3:
n =l(2,3263cdot53r)^2 =l(11,63153r)^2 approx(3,877)^2 approx15,03
  1. Arredondando para cima, n=16.

Passo 6

Item (e): Tamanho da amostra para IC 150pm0,98 com 95 % de confiança
  1. Agora nível 95 % → alpha/2=0,025 e z0,025=1,96. Queremos E=0,98.
n =l(1,96cdot50,98r)^2 =l(9,80,98r)^2 =l(10r)^2 =100

Resposta

a) 0,9918
b) [148,06 cm; 151,94 cm]
c) margem de erro ≈ 1,94 cm (menor que 3 cm)
d) n = 16
e) n = 100

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