As multas (em dólares canadenses) para uma amostra aleatória de 100 infrações de estacionamento em Toronto, Ontário, Canadá, em dezembro de 2011 estão listadas a seguir. (Fonte: City of Toronto.)
30 | 30 | 30 | 60 | 40 | 30 | 40 |
---|---|---|---|---|---|---|
30 | 40 | 15 | 30 | 30 | 90 | 30 |
30 | 60 | 60 | 30 | 60 | 30 | 100 |
30 | 30 | 60 | 30 | 60 | 60 | 30 |
30 | 30 | 30 | 40 | 105 | 60 | 40 |
15 | 30 | 30 | 30 | 15 | 30 | 60 |
60 | 30 | 40 | 40 | 40 | 60 | 40 |
30 | 30 | 30 | 60 | 30 | 30 | 60 |
30 | 30 | 30 | 60 | 40 | 40 | 40 |
30 | 100 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
40 | 15 | 30 | 30 | 60 | 30 | 30 |
40 | 30 | 40 | 40 | 60 | 30 | 30 |
30 | 30 | 40 | 40 | 30 | 30 | 30 |
30 | 30 | 30 | 60 | 30 | 30 | 30 |
30 | 30 |
Os resultados do Exercício 6 estão de acordo com o teorema de Chebyshev? Explique.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
multas e, no Exercício 6, foram calculados a média amostral e o desvio-padrão amostral. Agora queremos verificar se essas estatísticas satisfazem o teorema de Chebyshev, ou seja, se a proporção de observações dentro de
desvios-padrão da média é pelo menos
.
Passo 2
Vamos resumir os resultados do Exercício 6 (todos os cálculos seguem das frequências dos valores):
A média amostral é
O desvio-padrão amostral
vem de
logo
Passo 3
O teorema de Chebyshev diz que, para qualquer
, a proporção de observações que ficam dentro de
desvios-padrão da média é no mínimo
Vamos aplicar para
e
.
Passo 4
Para
:
o intervalo é
o intervalo é
Contamos que somente as multas de
,
e
(4 observações) ficam fora desse intervalo, logo
valores estão dentro. A proporção real é
Chebyshev exige pelo menos
Passo 5
Para
:
o intervalo é
o intervalo é
Aqui só as multas de
e
(3 observações) ficam fora, restando
dentro. A proporção real é
Chebyshev exige pelo menos
Passo 6
Em ambos os casos (
e
) a proporção observada de multas dentro de
desvios-padrão da média (
e
) é maior do que o mínimo garantido pelo teorema de Chebyshev (
e
).
Resposta
Sim. As proporções reais de multas dentro de
e
desvios-padrão da média (
e
) superam os limites mínimos dados por Chebyshev (
e
), logo os resultados do Exercício 6 estão de acordo com o teorema de Chebyshev.