As multas (em dólares canadenses) para uma amostra aleatória de 100 infrações de estacionamento em Toronto, Ontário, Canadá, em dezembro de 2011 estão listadas a seguir. (Fonte: City of Toronto.)
30 30 30 60 40 30 40
30 40 15 30 30 90 30
30 60 60 30 60 30 100
30 30 60 30 60 60 30
30 30 30 40 105 60 40
15 30 30 30 15 30 60
60 30 40 40 40 60 40
30 30 30 60 30 30 60
30 30 30 60 40 40 40
30 100 30 30 30 30 30
40 15 30 30 60 30 30
40 30 40 40 60 30 30
30 30 40 40 30 30 30
30 30 30 60 30 30 30
30 30
Os resultados do Exercício 6 estão de acordo com o teorema de Chebyshev? Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=100 multas e, no Exercício 6, foram calculados a média amostral e o desvio-padrão amostral. Agora queremos verificar se essas estatísticas satisfazem o teorema de Chebyshev, ou seja, se a proporção de observações dentro de k desvios-padrão da média é pelo menos 1 - 1/k^2.

Passo 2

Vamos resumir os resultados do Exercício 6 (todos os cálculos seguem das frequências dos valores):
sumi=1^100 xi = 3935, sumi=1^100 xi^2 = 184025
A média amostral é
barx = sum xin = 3935100 = 39,35
O desvio-padrão amostral s vem de
s^2 = 1n-1l(sum xi^2 - (sum xi)^2nr) = 199l(184025 - 3935^2100r) approx 293,96,
logo
s approx raiz293,96 approx 17,15

Passo 3

O teorema de Chebyshev diz que, para qualquer k>1, a proporção de observações que ficam dentro de k desvios-padrão da média é no mínimo
1 - 1k^2
Vamos aplicar para k=2 e k=3.

Passo 4

Para k=2:
o intervalo é
l[barx-2s,;barx+2sr] = [39,35-2cdot17,15,;39,35+2cdot17,15] approx [5,05,;73,65]
Contamos que somente as multas de 90, 100 e 105 (4 observações) ficam fora desse intervalo, logo 96 valores estão dentro. A proporção real é
96100 = 0,96 = 96%
Chebyshev exige pelo menos
1 - 12^2 = 1 - 14 = 0,75 = 75%

Passo 5

Para k=3:
o intervalo é
l[barx-3s,;barx+3sr] = [39,35-3cdot17,15,;39,35+3cdot17,15] approx [-12,10,;90,80]
Aqui só as multas de 100 e 105 (3 observações) ficam fora, restando 97 dentro. A proporção real é
97100 = 0,97 = 97%
Chebyshev exige pelo menos
1 - 13^2 = 1 - 19 approx 0,8889 = 88,89%

Passo 6

Em ambos os casos ( k=2 e k=3) a proporção observada de multas dentro de k desvios-padrão da média ( 96% e 97%) é maior do que o mínimo garantido pelo teorema de Chebyshev ( 75% e 88,89%).

Resposta

Sim. As proporções reais de multas dentro de 2 e 3 desvios-padrão da média ( 96% e 97%) superam os limites mínimos dados por Chebyshev ( 75% e 88,89%), logo os resultados do Exercício 6 estão de acordo com o teorema de Chebyshev.

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