Um bibliotecário afirma que nas prateleiras apenas 18 % dos livros apresentam alguma página danificada. Uma amostra aleatória de 200 livros de desta biblioteca revelou que 15 % deles tinha pelo menos uma página danificada. Teste a afirmação deste bibliotecário. Use o nível de significância de 2 %. (4 pontos).

Passo 1

Tranquilo, vamos lá! O enunciado quer que a gente teste a afirmação do bibliotecário de que 18% dos livros têm página danificada. A gente tem:
  • População: proporção de livros com página danificada, que ele diz ser p0 = 0,18.
  • Amostra: n = 200 livros, dos quais 15% tinham dano, ou seja hat p = 0,15.
  • Nível de significância alpha = 0,02.
Conteúdo da matéria: teste de hipóteses para proporção (distribuição normal aproximada). Vamos precisar:
  1. Formular hipóteses;
  2. Verificar condições de aplicação da aproxim. normal;
  3. Calcular estatística de teste z;
  4. Comparar com valor crítico.

Passo 2

Definindo as hipóteses e o nível de significância:
  • Hipótese nula:
H0: p = 0,18
  • Hipótese alternativa (já que queremos “testar a afirmação”, entendemos que pode ser diferente):
H1: p neq 0,18
  • Nível de significância:
alpha = 0,02(dois por cento)

Passo 3

Verificando a aproximação normal (regra prática: n p0 >= 5 e n(1-p0)>= 5):
  • n p0 = 200 times 0,18 = 36>=5
  • n(1-p0) = 200 times 0,82 = 164>=5
    Então podemos usar a distribuição normal para a estatística de teste.
Sob H0, a proporção amostral hat p tem média p0 e desvio-padrão
sigmahat p = raizp0(1 - p0)n = raiz0,18 times 0,82200

Passo 4

Vamos calcular de fato:
sigmahat p = raiz0,18 times 0,82200 = raiz0,1476200 = raiz0,000738 approx 0,02717
A estatística de teste z é
z = hat p - p0sigmahat p = 0,15 - 0,180,02717 = -0,030,02717 approx -1,104

Passo 5

Como é teste bilateral, o valor crítico para alpha/2 = 0,01 em cada cauda é
zalpha/2 = z0,01 approx 2,326
A região de rejeição é z < -2,326 ou z > 2,326.
Mas z approx -1,104 cai dentro de [-2,326, +2,326], ou seja, não está na região crítica.

Resposta

Não rejeitamos H0. Ou seja, ao nível de significância de 2%, não há evidência estatística para afirmar que a proporção verdadeira de livros danificados difere de 18%.

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