Uma amostra constituída de 12 medidas de tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou média de 7,38 \mathrm{~kg} e desvio padrão de 1,24 \mathrm{~kg}. Determinar os limites de confiança de 95 \% e 99 \% para média da população. \mathrm{R}: I C=(\mu, 95 \%)=[6,59 ; 8,17] . I C=(\mu, 99 \%)=[6,27 ; 8,49]

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=12 com média \bar x = 7,38 kg e desvio padrão amostral s = 1,24 kg. Como a variância populacional é desconhecida, vamos construir intervalos de confiança para a média usando a distribuição t-Student com n-1=11 graus de liberdade.

Passo 2

Para o nível de confiança de 95 %, temos 1-\alpha = 0,95, logo \alpha/2 = 0,025. O valor crítico é
t_{0,975;11} \approx 2,201
A margem de erro é
E_{95} = t_{0,975;11}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 2,201 \,\frac{1,24}{\sqrt{12}} \approx 0,79
Portanto o intervalo de confiança a 95 % fica
\bar x \pm E_{95} = 7,38 \pm 0,79 \;\Longrightarrow\; [6,59;\,8,17].

Passo 3

Para o nível de confiança de 99 %, temos 1-\alpha = 0,99, logo \alpha/2 = 0,005. O valor crítico é
t_{0,995;11} \approx 3,106
A margem de erro é
E_{99} = t_{0,995;11}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 3,106 \,\frac{1,24}{\sqrt{12}} \approx 1,11
Assim o intervalo de confiança a 99 % fica
7,38 \pm 1,11 \;\Longrightarrow\; [6,27;\,8,49].

Resposta

\mathrm{IC}(\mu,95\%) = [6,59;\,8,17]
\mathrm{IC}(\mu,99\%) = [6,27;\,8,49]

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