A vida média de baterias automotivas de uma certa marca está sendo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, é possível admitir que a vida dessas baterias segue a distribuição Normal com desvio padrão de 4,5 meses. De qual tamanho deverá ser a amostra, para que tenhamos um erro máximo de 2 meses na estimação ao um nível de 90 \% de confiança? E ao nível de 99 \% de confiança? R: 14 ; 34

Passo 1

O enunciado diz que a vida média de baterias segue uma Normal com desvio padrão conhecido \sigma=4,5 meses. Queremos estimar a média com erro máximo E=2 meses, nos níveis de confiança de 90\% e de 99\%.

Passo 2

Quando \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média é dado por
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
e a margem de erro é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Logo, isolando n, temos
\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E} \quad\Longrightarrow\quad n = \biggl(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\biggr)^{2}.

Passo 3

Para 90\% de confiança, \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05, de onde z_{0,95}=1,645. Substituindo:
n = \biggl(\frac{1{,}645 \times 4{,}5}{2}\biggr)^{2} = \bigl(3{,}70125\bigr)^{2} \approx 13{,}70.
Arredondando para cima, obtemos n=14.

Passo 4

Para 99\% de confiança, \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005, de onde z_{0,995}=2,576. Substituindo:
n = \biggl(\frac{2{,}576 \times 4{,}5}{2}\biggr)^{2} = \bigl(5{,}796\bigr)^{2} \approx 33{,}59.
Arredondando para cima, obtemos n=34.

Resposta

Para nível de 90\%: n=14.
Para nível de 99\%: n=34.

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