Amostra Dados
I 7 9 3 8 11 5 9
II 2 7 5 15 9 16 8
(a) O que pode ser dito a respeito das médias das populações, com alpha=5 % ?
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as médias com coeficiente de confiança de 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que essa questão está pedindo. Temos duas amostras de dados:
  • Amostra I: 7, 9, 3, 8, 11, 5, 9
  • Amostra II: 2, 7, 5, 15, 9, 16, 8
O conteúdo envolvido aqui é estatística, mais especificamente teste de hipóteses e intervalo de confiança para a diferença entre médias. Para resolver, vamos precisar calcular médias, desvios padrão e usar a distribuição t de Student, já que temos amostras pequenas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média e o desvio padrão de cada amostra. A média é a soma dos valores dividida pelo número de elementos, e o desvio padrão nos mostra o quanto os dados estão espalhados em torno da média.
Amostra I:
  • Soma: 7 + 9 + 3 + 8 + 11 + 5 + 9 = 52
  • Média ( barX1): 52 / 7 ≈ 7,43
  • Desvio padrão ( s1): Vamos calcular passo a passo.
Amostra II:
  • Soma: 2 + 7 + 5 + 15 + 9 + 16 + 8 = 62
  • Média ( barX2): 62 / 7 ≈ 8,86
  • Desvio padrão ( s2): Também vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão para a Amostra I:
  1. Subtraia a média de cada valor e eleve ao quadrado:
    • (7 - 7.43)² ≈ 0.18
    • (9 - 7.43)² ≈ 2.45
    • (3 - 7.43)² ≈ 19.60
    • (8 - 7.43)² ≈ 0.32
    • (11 - 7.43)² ≈ 12.65
    • (5 - 7.43)² ≈ 5.90
    • (9 - 7.43)² ≈ 2.45
  2. Some esses valores:
    • Total ≈ 0.18 + 2.45 + 19.60 + 0.32 + 12.65 + 5.90 + 2.45 ≈ 43,55
  3. Divida pela quantidade de elementos menos um (n-1 = 6):
    • Variância ≈ 43,55 / 6 ≈ 7,26
  4. Raiz quadrada da variância:
    • Desvio padrão ( s1) ≈ √7,26 ≈ 2,70

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão para a Amostra II:
  1. Subtraia a média de cada valor e eleve ao quadrado:
    • (2 - 8.86)² ≈ 47.55
    • (7 - 8.86)² ≈ 3.46
    • (5 - 8.86)² ≈ 14.90
    • (15 - 8.86)² ≈ 37.11
    • (9 - 8.86)² ≈ 0.02
    • (16 - 8.86)² ≈ 51.99
    • (8 - 8.86)² ≈ 0.74
  2. Some esses valores:
    • Total ≈ 47.55 + 3.46 + 14.90 + 37.11 + 0.02 + 51.99 + 0.74 ≈ 155,77
  3. Divida pela quantidade de elementos menos um (n-1 = 6):
    • Variância ≈ 155,77 / 6 ≈ 25,96
  4. Raiz quadrada da variância:
    • Desvio padrão ( s2) ≈ √25,96 ≈ 5,10

Passo 5

Agora que temos as médias e os desvios padrão, vamos para a parte (a) da questão:
(a) O que pode ser dito a respeito das médias das populações, com alpha=5 %?
Estamos querendo testar se há diferença significativa entre as médias das duas populações com um nível de significância de 5%. Vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): As médias são iguais ( mu1 = mu2)
  • Hipótese alternativa ( Ha): As médias são diferentes ( mu1 neq mu2)
Vamos usar o teste t para duas amostras independentes.

Passo 6

Para o teste t, a fórmula é:
t = barX1 - barX2raizs1^2n1 + s2^2n2
Onde:
  • barX1 e barX2 são as médias das amostras
  • s1 e s2 são os desvios padrão
  • n1 e n2 são os tamanhos das amostras
Vamos substituir os valores:
t = 7.43 - 8.86raiz2.70^27 + 5.10^27 ≈ -1.43raiz7.297 + 26.017 ≈ -1.43raiz1.04 + 3.72 ≈ -1.43raiz4.76 ≈ -1.432.18 ≈ -0.66

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um teste bicaudal com alpha=5% e graus de liberdade. Como as variâncias são diferentes, usamos a aproximação de Welch para os graus de liberdade:
df = (s1^2n1 + s2^2n2)^2(s1^2n1)^2n1-1 + (s2^2n2)^2n2-1 ≈ (1.04 + 3.72)^21.04^26 + 3.72^26 ≈ 4.76^20.18 + 2.31 ≈ 22.662.49 ≈ 9.10
Arredondamos para 9 graus de liberdade.
Para df=9 e alpha=5% em um teste bicaudal, o valor crítico t é aproximadamente 2.262.

Passo 8

Comparando o valor calculado de t com o valor crítico:
  • |tcalculado| = 0.66 < tcrítico = 2.262í
Como o valor absoluto de t calculado é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

(a) Com um nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para afirmar que as médias das duas populações são diferentes.

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