Amostra | Dados | ||||||
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I | 7 | 9 | 3 | 8 | 11 | 5 | 9 |
II | 2 | 7 | 5 | 15 | 9 | 16 | 8 |
(a) O que pode ser dito a respeito das médias das populações, com
?
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as médias com coeficiente de confiança de .
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as médias com coeficiente de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos ver o que essa questão está pedindo. Temos duas amostras de dados:
- Amostra I: 7, 9, 3, 8, 11, 5, 9
- Amostra II: 2, 7, 5, 15, 9, 16, 8
O conteúdo envolvido aqui é estatística, mais especificamente teste de hipóteses e intervalo de confiança para a diferença entre médias. Para resolver, vamos precisar calcular médias, desvios padrão e usar a distribuição t de Student, já que temos amostras pequenas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média e o desvio padrão de cada amostra. A média é a soma dos valores dividida pelo número de elementos, e o desvio padrão nos mostra o quanto os dados estão espalhados em torno da média.
Amostra I:
- Soma: 7 + 9 + 3 + 8 + 11 + 5 + 9 = 52
- Média (
): 52 / 7 ≈ 7,43 - Desvio padrão (
): Vamos calcular passo a passo.
Amostra II:
- Soma: 2 + 7 + 5 + 15 + 9 + 16 + 8 = 62
- Média (
): 62 / 7 ≈ 8,86 - Desvio padrão (
): Também vamos calcular passo a passo.
Passo 3
Vamos calcular o desvio padrão para a Amostra I:
-
Subtraia a média de cada valor e eleve ao quadrado:
- (7 - 7.43)² ≈ 0.18
- (9 - 7.43)² ≈ 2.45
- (3 - 7.43)² ≈ 19.60
- (8 - 7.43)² ≈ 0.32
- (11 - 7.43)² ≈ 12.65
- (5 - 7.43)² ≈ 5.90
- (9 - 7.43)² ≈ 2.45
-
Some esses valores:
- Total ≈ 0.18 + 2.45 + 19.60 + 0.32 + 12.65 + 5.90 + 2.45 ≈ 43,55
-
Divida pela quantidade de elementos menos um (n-1 = 6):
- Variância ≈ 43,55 / 6 ≈ 7,26
-
Raiz quadrada da variância:
- Desvio padrão (
) ≈ √7,26 ≈ 2,70
- Desvio padrão (
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão para a Amostra II:
-
Subtraia a média de cada valor e eleve ao quadrado:
- (2 - 8.86)² ≈ 47.55
- (7 - 8.86)² ≈ 3.46
- (5 - 8.86)² ≈ 14.90
- (15 - 8.86)² ≈ 37.11
- (9 - 8.86)² ≈ 0.02
- (16 - 8.86)² ≈ 51.99
- (8 - 8.86)² ≈ 0.74
-
Some esses valores:
- Total ≈ 47.55 + 3.46 + 14.90 + 37.11 + 0.02 + 51.99 + 0.74 ≈ 155,77
-
Divida pela quantidade de elementos menos um (n-1 = 6):
- Variância ≈ 155,77 / 6 ≈ 25,96
-
Raiz quadrada da variância:
- Desvio padrão (
) ≈ √25,96 ≈ 5,10
- Desvio padrão (
Passo 5
Agora que temos as médias e os desvios padrão, vamos para a parte (a) da questão:
(a) O que pode ser dito a respeito das médias das populações, com
?
Estamos querendo testar se há diferença significativa entre as médias das duas populações com um nível de significância de 5%. Vamos formular as hipóteses:
- Hipótese nula (
): As médias são iguais ( ) - Hipótese alternativa (
): As médias são diferentes ( )
Vamos usar o teste t para duas amostras independentes.
Passo 6
Para o teste t, a fórmula é:
Onde:
-
e são as médias das amostras -
e são os desvios padrão -
e são os tamanhos das amostras
Vamos substituir os valores:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um teste bicaudal com
e graus de liberdade. Como as variâncias são diferentes, usamos a aproximação de Welch para os graus de liberdade:
Arredondamos para 9 graus de liberdade.
Para
e
em um teste bicaudal, o valor crítico t é aproximadamente 2.262.
Passo 8
Comparando o valor calculado de t com o valor crítico:
-
<
Como o valor absoluto de t calculado é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
(a) Com um nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para afirmar que as médias das duas populações são diferentes.