Um caminhante aleatório realiza 500 passos em uma linha reta. Cada passo tem comprimento l=1 m, e a probabilidade de cada passo ser para a direita é p=0,6, enquanto a probabilidade de ser para a esquerda é q=0,4. Use a aproximação gaussiana para calcular a probabilidade de que o caminhante esteja entre as posições x=40 m e x=50 m após 500 passos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um caminhante que dá 500 passos em linha reta, cada passo medindo 1 metro. A chance de ele dar um passo para a direita é de 60% (ou 0,6) e para a esquerda é de 40% (0,4). Precisamos usar a aproximação gaussiana (ou normal) para calcular a probabilidade de que, após esses 500 passos, ele esteja entre 40 metros e 50 metros da posição inicial. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição binomial e como aproximá-la com a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar os passos do caminhante. Cada passo pode ser considerado um evento binomial: ou ele vai para a direita ou para a esquerda. Podemos associar cada passo para a direita como +1 metro e para a esquerda como -1 metro. Assim, a posição final $ X $ do caminhante após 500 passos é a soma desses passos.

Passo 3

Vamos calcular a média ($ \mu mu ã \sigma $) dessa distribuição. Na distribuição binomial, a média é dada por:
sigma
Onde:
  • $ n = 500 $ (número de passos)
  • $ p = 0,6 $ (probabilidade de ir para a direita)
  • $ q = 0,4 $ (probabilidade de ir para a esquerda)
Então:
mu = n cdot (p - q)

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância ($ \sigma^2 sigma^2 ã \sigma $). A variância na distribuição binomial é:
sigma
Substituindo os valores:
sigma^2 = n cdot p cdot q
Então, o desvio padrão é:
sigma^2 = 500 cdot 0,6 cdot 0,4 = 120

Passo 5

Com a média e o desvio padrão, podemos usar a aproximação normal para calcular a probabilidade de o caminhante estar entre 40 metros e 50 metros. Primeiro, padronizamos esses valores usando a fórmula do escore z:
z = x - musigma
Para $ x = 40 $:
x = 40
Para $ x = 50 $:
z1 = 40 - 10010,95 approx -5,48

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ z $ estar entre -5,48 e -4,57 usando a tabela da distribuição normal padrão. Porém, esses valores de z estão muito além dos valores comuns das tabelas, que geralmente vão até cerca de 3 ou -3. Isso indica que a probabilidade de estar entre 40 e 50 metros é praticamente zero.

Resposta

A probabilidade de que o caminhante esteja entre 40 metros e 50 metros após 500 passos é praticamente zero.

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