Um caminhante aleatório realiza 500 passos em uma linha reta. Cada passo tem comprimento
, e a probabilidade de cada passo ser para a direita é
, enquanto a probabilidade de ser para a esquerda é
. Use a aproximação gaussiana para calcular a probabilidade de que o caminhante esteja entre as posições
e
após 500 passos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um caminhante que dá 500 passos em linha reta, cada passo medindo 1 metro. A chance de ele dar um passo para a direita é de 60% (ou 0,6) e para a esquerda é de 40% (0,4). Precisamos usar a aproximação gaussiana (ou normal) para calcular a probabilidade de que, após esses 500 passos, ele esteja entre 40 metros e 50 metros da posição inicial. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição binomial e como aproximá-la com a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar os passos do caminhante. Cada passo pode ser considerado um evento binomial: ou ele vai para a direita ou para a esquerda. Podemos associar cada passo para a direita como +1 metro e para a esquerda como -1 metro. Assim, a posição final $ X $ do caminhante após 500 passos é a soma desses passos.
Passo 3
Vamos calcular a média ($ \mu
\sigma $) dessa distribuição. Na distribuição binomial, a média é dada por:
Onde:
- $ n = 500 $ (número de passos)
- $ p = 0,6 $ (probabilidade de ir para a direita)
- $ q = 0,4 $ (probabilidade de ir para a esquerda)
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância ($ \sigma^2
\sigma $). A variância na distribuição binomial é:
Substituindo os valores:
Então, o desvio padrão é:
Passo 5
Com a média e o desvio padrão, podemos usar a aproximação normal para calcular a probabilidade de o caminhante estar entre 40 metros e 50 metros. Primeiro, padronizamos esses valores usando a fórmula do escore z:
Para $ x = 40 $:
Para $ x = 50 $:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ z $ estar entre -5,48 e -4,57 usando a tabela da distribuição normal padrão. Porém, esses valores de z estão muito além dos valores comuns das tabelas, que geralmente vão até cerca de 3 ou -3. Isso indica que a probabilidade de estar entre 40 e 50 metros é praticamente zero.
Resposta
A probabilidade de que o caminhante esteja entre 40 metros e 50 metros após 500 passos é praticamente zero.