Um gás é composto por partículas que se movem ao longo de uma linha. A distribuição inicial das partículas é centrada na origem x=0, e a difusão segue o modelo da equação de Fokker-Planck com p neq q, ou seja, com um termo de arrasto. Se o coeficiente de difusão é D=0,05 m^2 / s, e a velocidade média c=0,3 m / s, calcule: A probabilidade de encontrar uma partícula entre x=20 m e x=22 m após t=100 s.

Passo 1

A gente tem um gás com partículas que se movem numa linha reta, começando concentradas na origem ( x=0). A difusão das partículas segue a equação de Fokker-Planck com um termo de arrasto, ou seja, além da difusão, as partículas têm uma velocidade média c. Precisamos calcular a probabilidade de encontrar uma partícula entre x=20 , m e x=22 , m após t=100 , s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão, movimento com velocidade média e distribuição de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a posição média das partículas após 100 , s. Como as partículas têm uma velocidade média c = 0,3 , m/s, a posição média mu é:
mu = c times t = 0,3 , ms times 100 , s = 30 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da distribuição das posições das partículas devido à difusão. A variância sigma^2 é dada por:
sigma^2 = 2 D t = 2 times 0,05 , m^2s times 100 , s = 10 , m^2
O desvio padrão sigma é então:
sigma = raiz10 approx 3,16 , m

Passo 4

Sabendo que a distribuição das posições das partículas é aproximadamente normal (gaussiana), podemos usar a função de distribuição normal para calcular a probabilidade desejada. A função de densidade de probabilidade é:
f(x) = 1sigma raiz2pi exp( -(x - mu)^22sigma^2 )
Onde mu = 30 , m e sigma approx 3,16 , m.

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de uma partícula estar entre x=20 , m e x=22 , m. Isso é dado por:
P(20 <= x <= 22) = integral20^22 f(x) , dx = CDF(22) - CDF(20)
Onde CDF é a função de distribuição acumulada da distribuição normal.

Passo 6

Para calcular a CDF, vamos padronizar os valores usando a variável z:
z = x - musigma
Então, para x=20 , m:
z1 = 20 - 303,16 approx -3,16
E para x=22 , m:
z2 = 22 - 303,16 approx -2,53

Passo 7

Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos os valores das CDF para z1 e z2:
CDF(z2) approx 0,0057 CDF(z1) approx 0,0008

Resposta

A probabilidade de encontrar uma partícula entre 20 , m e 22 , m após 100 , s é aproximadamente 0,0057 - 0,0008 = 0,0049, ou seja, 0,49%.

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