Um gás é composto por partículas que se movem ao longo de uma linha. A distribuição inicial das partículas é centrada na origem
, e a difusão segue o modelo da equação de Fokker-Planck com
, ou seja, com um termo de arrasto. Se o coeficiente de difusão é
, e a velocidade média
, calcule: A probabilidade de encontrar uma partícula entre
e
após
.
Passo 1
A gente tem um gás com partículas que se movem numa linha reta, começando concentradas na origem (
). A difusão das partículas segue a equação de Fokker-Planck com um termo de arrasto, ou seja, além da difusão, as partículas têm uma velocidade média
. Precisamos calcular a probabilidade de encontrar uma partícula entre
e
após
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão, movimento com velocidade média e distribuição de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a posição média das partículas após
. Como as partículas têm uma velocidade média
, a posição média
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da distribuição das posições das partículas devido à difusão. A variância
é dada por:
O desvio padrão
é então:
Passo 4
Sabendo que a distribuição das posições das partículas é aproximadamente normal (gaussiana), podemos usar a função de distribuição normal para calcular a probabilidade desejada. A função de densidade de probabilidade é:
Onde
e
.
Passo 5
Queremos encontrar a probabilidade de uma partícula estar entre
e
. Isso é dado por:
Onde
é a função de distribuição acumulada da distribuição normal.
Passo 6
Para calcular a CDF, vamos padronizar os valores usando a variável
:
Então, para
:
E para
:
Passo 7
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos os valores das CDF para
e
:
Resposta
A probabilidade de encontrar uma partícula entre
e
após
é aproximadamente
, ou seja,
.