Uma amostra de um gás se expande de uma pressão inicial de 10 Pa e um volume inicial de
para um volume final de
. Durante a expansão, a pressão e o volume estão relacionados pela equação
, onde
, e foi injetado
de energia térmica no sistema. Determine o trabalho realizado pelo gás durante a expansão
e a variação da energia interna
do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a expansão de um gás, onde temos a pressão inicial, o volume inicial, e sabemos como a pressão varia com o volume durante essa expansão. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente sobre o trabalho realizado por um gás e a variação da energia interna. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do trabalho em processos termodinâmicos e a primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado pelo gás. Em termodinâmica, o trabalho $ W $ feito pelo gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em função do volume:
No nosso caso, a pressão $ P $ está relacionada ao volume $ V $ pela equação $ P = a V^{-2/3} $, onde $ a = 20 , N/m² $.
Passo 3
Vamos substituir a equação de $ P $ na integral do trabalho:
Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de $ V^{-2/3} $ em relação a $ V $ é:
Passo 4
Aplicando os limites de integração de $ V_i = 2,0 , m³ $ a $ V_f = 3,0 , m³ $:
Vamos calcular $ V_f^{1/3} $ e $ V_i^{1/3} $:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão do trabalho:
Então, o trabalho realizado pelo gás durante a expansão é aproximadamente $ 10,92 , J $.
Passo 6
Agora, vamos determinar a variação da energia interna $ \Delta U $ do sistema. Para isso, usamos a primeira lei da termodinâmica:
Onde:
- $ Q $ é a quantidade de calor injetada no sistema
- $ W $ é o trabalho realizado pelo sistema
Dado que $ Q = 4,0 , kcal $, precisamos converter isso para Joules:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula da primeira lei:
Resposta
O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é aproximadamente $ 10,92 , J $ e a variação da energia interna do sistema é $ 16725,08 , J $.