Uma amostra de um gás se expande de uma pressão inicial de 10 Pa e um volume inicial de 2,0 m^3 para um volume final de 3,0 m^3. Durante a expansão, a pressão e o volume estão relacionados pela equação P=a V^-2 / 3, onde a=20 N / m^2, e foi injetado 4,0 kcal de energia térmica no sistema. Determine o trabalho realizado pelo gás durante a expansão (W) e a variação da energia interna (De do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a expansão de um gás, onde temos a pressão inicial, o volume inicial, e sabemos como a pressão varia com o volume durante essa expansão. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente sobre o trabalho realizado por um gás e a variação da energia interna. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do trabalho em processos termodinâmicos e a primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado pelo gás. Em termodinâmica, o trabalho $ W $ feito pelo gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em função do volume:
W
No nosso caso, a pressão $ P $ está relacionada ao volume $ V $ pela equação $ P = a V^{-2/3} $, onde $ a = 20 , N/m² $.

Passo 3

Vamos substituir a equação de $ P $ na integral do trabalho:
P
Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de $ V^{-2/3} $ em relação a $ V $ é:
W = integral2,0^3,0 20 , V^-2/3 , dV

Passo 4

Aplicando os limites de integração de $ V_i = 2,0 , m³ $ a $ V_f = 3,0 , m³ $:
Vi = 2,0 , m³
Vamos calcular $ V_f^{1/3} $ e $ V_i^{1/3} $:
Vf = 3,0 , m³
W = 20 times [ 3 V^1/3 ]2,0^3,0 = 60 ( Vf^1/3 - Vi^1/3 )

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do trabalho:
W = 60 times (1,442 - 1,260) = 60 times 0,182 = 10,92 , J
Então, o trabalho realizado pelo gás durante a expansão é aproximadamente $ 10,92 , J $.

Passo 6

Agora, vamos determinar a variação da energia interna $ \Delta U $ do sistema. Para isso, usamos a primeira lei da termodinâmica:
De
Onde:
  • $ Q $ é a quantidade de calor injetada no sistema
  • $ W $ é o trabalho realizado pelo sistema
Dado que $ Q = 4,0 , kcal $, precisamos converter isso para Joules:
De

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula da primeira lei:
De

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é aproximadamente $ 10,92 , J $ e a variação da energia interna do sistema é $ 16725,08 , J $.

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