Uma lâmina de cobre com 2,00 mm de espessura é ligada a uma folha de aço com 1,00 mm de espesura. A superfície externa da folha de cobre é mantida a uma temperatura de 100^circ C e a folha de aço a 25,0 ^circ C. Determine a temperatura da interface cobre-aço e a energia térmica é conduzida por 1,00 m^2 das folhas combinadas por segundo (d Qd t)?

Passo 1

Então, galera, vamos resolver um exercício que envolve transferência de calor entre dois materiais: cobre e aço. A gente vai precisar entender como o calor se move através desses materiais e usar algumas fórmulas de condução de calor para encontrar duas coisas importantes:
  1. A temperatura na interface, ou seja, onde o cobre e o aço se encontram.
  2. A quantidade de energia térmica que passa por uma área de 1 metro quadrado dessas folhas a cada segundo.
Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Espessura do cobre, $ L_{cobre} = 2,00 , mm = 0,002 , m $
  • Espessura do aço, $ L_{aço} = 1,00 , mm = 0,001 , m $
  • Temperatura na superfície externa do cobre, $ T_{cobre} = 100^{\circ} C $
  • Temperatura na superfície externa do aço, $ T_{aço} = 25,0^{\circ} C $
  • Área, $ A = 1,00 , m^2 $
Além disso, precisamos das condutividades térmicas dos materiais:
  • Cobre, $ k_{cobre} = 401 , W/(m·K) $
  • Aço, $ k_{aço} = 50,2 , W/(m·K) $

Passo 3

O que estamos lidando aqui é um caso de condução de calor em regime estacionário, ou seja, a temperatura não está mudando com o tempo. Neste cenário, o fluxo de calor que passa pelo cobre é igual ao que passa pelo aço.
Usamos a Lei de Fourier para condução de calor:
dQdt = k cdot A cdot De
Onde:
  • $ \frac{dQ}{dt} $ é a taxa de fluxo de calor,
  • $ k $ é a condutividade térmica do material,
  • $ A $ é a área,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
  • $ L $ é a espessura do material.

Passo 4

Vamos chamar a temperatura na interface entre cobre e aço de $ T_{interface} $.
Para o cobre:
Tinterface
Para o aço:
dQdt = kcobre cdot A cdot (Tcobre - Tinterface)Lcobre ççç
Como o fluxo de calor é o mesmo nos dois materiais:
dQdt = kaço cdot A cdot (Tinterface - Taço)Laço ççç

Passo 5

Vamos resolver para $ T_{interface} $:
Primeiro, substituímos os valores:
Tinterface
Agora, simplificamos as equações:
401 cdot (100 - Tinterface)0,002 = 50,2 cdot (Tinterface - 25)0,001
Calculando os coeficientes:
4010,002 (100 - Tinterface) = 50,20,001 (Tinterface - 25)

Passo 6

Expandindo as equações:
200500 cdot 100 - 200500 cdot Tinterface = 50200 cdot Tinterface - 50200 cdot 25
Calculando os produtos:
20050000 - 200500 , Tinterface = 50200 , Tinterface - 1255000

Passo 7

Agora, vamos reunir os termos com $ T_{interface} $ de um lado e os números do outro:
Tinterface
Somando:
20050000 + 1255000 = 50200 , Tinterface + 200500 , Tinterface

Passo 8

Finalmente, isolamos $ T_{interface} $:
Tinterface

Passo 9

Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de calor $ \frac{dQ}{dt} $ usando a temperatura na interface que encontramos.
Usando a equação para o cobre:
dQdt
Calculando a diferença de temperatura:
dQdt = 401 cdot 1,00 cdot (100 - 84,9)0,002
Então:
100 - 84,9 = 15,1^circ C

Resposta

A temperatura na interface cobre-aço é aproximadamente $ 84,9^{\circ} C $ e a energia térmica conduzida por segundo é $ 3.027.550 , W $.

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