Uma lâmina de cobre com
de espessura é ligada a uma folha de aço com
de espesura. A superfície externa da folha de cobre é mantida a uma temperatura de
e a folha de aço a 25,0
. Determine a temperatura da interface cobre-aço e a energia térmica é conduzida por
das folhas combinadas por segundo
?
Passo 1
Então, galera, vamos resolver um exercício que envolve transferência de calor entre dois materiais: cobre e aço. A gente vai precisar entender como o calor se move através desses materiais e usar algumas fórmulas de condução de calor para encontrar duas coisas importantes:
- A temperatura na interface, ou seja, onde o cobre e o aço se encontram.
- A quantidade de energia térmica que passa por uma área de 1 metro quadrado dessas folhas a cada segundo.
Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos listar os dados que temos:
- Espessura do cobre, $ L_{cobre} = 2,00 , mm = 0,002 , m $
- Espessura do aço, $ L_{aço} = 1,00 , mm = 0,001 , m $
- Temperatura na superfície externa do cobre, $ T_{cobre} = 100^{\circ} C $
- Temperatura na superfície externa do aço, $ T_{aço} = 25,0^{\circ} C $
- Área, $ A = 1,00 , m^2 $
Além disso, precisamos das condutividades térmicas dos materiais:
- Cobre, $ k_{cobre} = 401 , W/(m·K) $
- Aço, $ k_{aço} = 50,2 , W/(m·K) $
Passo 3
O que estamos lidando aqui é um caso de condução de calor em regime estacionário, ou seja, a temperatura não está mudando com o tempo. Neste cenário, o fluxo de calor que passa pelo cobre é igual ao que passa pelo aço.
Usamos a Lei de Fourier para condução de calor:
Onde:
- $ \frac{dQ}{dt} $ é a taxa de fluxo de calor,
- $ k $ é a condutividade térmica do material,
- $ A $ é a área,
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
- $ L $ é a espessura do material.
Passo 4
Vamos chamar a temperatura na interface entre cobre e aço de $ T_{interface} $.
Para o cobre:
Para o aço:
Como o fluxo de calor é o mesmo nos dois materiais:
Passo 5
Vamos resolver para $ T_{interface} $:
Primeiro, substituímos os valores:
Agora, simplificamos as equações:
Calculando os coeficientes:
Passo 6
Expandindo as equações:
Calculando os produtos:
Passo 7
Agora, vamos reunir os termos com $ T_{interface} $ de um lado e os números do outro:
Somando:
Passo 8
Finalmente, isolamos $ T_{interface} $:
Passo 9
Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de calor $ \frac{dQ}{dt} $ usando a temperatura na interface que encontramos.
Usando a equação para o cobre:
Calculando a diferença de temperatura:
Então:
Resposta
A temperatura na interface cobre-aço é aproximadamente $ 84,9^{\circ} C $ e a energia térmica conduzida por segundo é $ 3.027.550 , W $.