Para uma densidade de carga volumétrica definida abaixo, qual a carga total dentro de uma esfera de raio r=1 m ? Determine a função de campo elétrico em qualquer ponto.
\begin{gathered} \rho_{v}=\frac{4 e^{-10000 r}}{r} n C / m^{3}, \text { para } 0<r<1 m \\\ \rho_{v}=0, \text { para qualquer outra região } \end{gathered}ã

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de carga volumétrica esfericamente simétrica
\rho_v(r)=\begin{cases} 4\times10^{-9}\,\dfrac{e^{-10000\,r}}{r}\\ \mathrm{C/m^3},&0<r<1\\ \mathrm{m},\\\\ 0,&r\ge1\\ \mathrm{m}, \end{cases}
e pede:
  1. A carga total Q_{\rm tot} dentro da esfera de raio 1\\ \mathrm{m}.
  2. O campo elétrico \mathbf{E}(r) para todo r.
Conteúdo: cálculo de carga por integração de densidade e uso da Lei de Gauss para campo elétrico esférico.

Passo 2

Para achar Q_{\rm tot} usamos
Q_{\rm tot}=\int_{V}\rho_v\,d\tau
em coordenadas esféricas d\tau=4\pi r^2\,dr. Como \rho_v=0 para r>1, integramos de 0 a 1:
Q_{\rm tot} =\int_{0}^{1}4\times10^{-9}\,\frac{e^{-10000\,r}}{r}\;4\pi r^2\,dr =16\pi\times10^{-9}\int_{0}^{1}r\,e^{-10000\,r}\,dr.

Passo 3

Calculamos o integral
I=\int_{0}^{1}r\,e^{-a r}\,dr,
com a=10000. Usa-se por partes ou tabela:
\int r\,e^{-a r}\,dr =-\Bigl(\frac{r}{a}+\frac{1}{a^2}\Bigr)e^{-a r}+C.
Logo
I =\Bigl[-\bigl(\tfrac{r}{a}+\tfrac{1}{a^2}\bigr)e^{-a r}\Bigr]_{0}^{1} =-\Bigl(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{a^2}\Bigr)e^{-a} +\Bigl(\tfrac{0}{a}+\tfrac{1}{a^2}\Bigr) =\frac{1}{a^2}-\Bigl(\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}\Bigr)e^{-a}.

Passo 4

Substituindo em Q_{\rm tot}:
Q_{\rm tot} =16\pi\times10^{-9}\, \Bigl[\frac{1}{a^2}-\bigl(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{a^2}\bigr)e^{-a}\Bigr] \quad\text{com }a=10000.
Como e^{-10000}\approx0 é desprezível, fica
Q_{\rm tot}\approx16\pi\times10^{-9}\,\frac{1}{(10000)^2} =16\pi\times10^{-9}\times10^{-8} =16\pi\times10^{-17}\\ \mathrm{C} \approx5{,}03\times10^{-16}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Para o campo elétrico, pela simetria esférica e Lei de Gauss, em r<1 usamos a carga enclausurada até r:
Q_{\rm enc}(r) =16\pi\times10^{-9}\int_{0}^{r}s\,e^{-10000\,s}ds =16\pi\times10^{-9}\, \Bigl[\frac{1}{a^2}-\Bigl(\frac{r}{a}+\frac{1}{a^2}\Bigr)e^{-a r}\Bigr].
Então, pela Lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^2 =Q_{\rm enc}(r)/\varepsilon_0 \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{Q_{\rm enc}(r)}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} \quad(r<1).

Passo 6

Para r\ge1, toda a carga Q_{\rm tot} está dentro da superfície gaussiana, logo
E(r) =\frac{Q_{\rm tot}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} \quad(r\ge1).

Resposta

Carga total dentro de r=1\\ \mathrm{m}:
Q_{\rm tot} =16\pi\times10^{-9}\Bigl[\tfrac{1}{(10^4)^2} -\bigl(\tfrac{1}{10^4}+\tfrac{1}{(10^4)^2}\bigr)e^{-10^4}\Bigr] \approx5{,}03\times10^{-16}\\ \mathrm{C}.
Campo elétrico:
Para 0<r<1,
E(r)=\frac{16\pi\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} \Bigl[\frac{1}{(10^4)^2}-\Bigl(\frac{r}{10^4}+\frac{1}{(10^4)^2}\Bigr)e^{-10000\,r}\Bigr] \,\hat r.
Para r\ge1,
E(r)=\frac{Q_{\rm tot}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r.

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