Para z \leq 0, \varepsilon_{r 1}=9,0 \mathrm{e}, para z>0, \varepsilon_{r 2}=4,0. Se \boldsymbol{E}_{\mathbf{1}} forma um ângulo de 30^{\circ} com a normal da superfície que separa os dois meios, qual o ângulo que \boldsymbol{E}_{\mathbf{2}} forma com a normal da superfície?

Passo 1

O enunciado descreve dois meios dielétricos planos separados por z=0. Para z\le0, o meio 1 tem \varepsilon_{r1}=9,0 e para z>0, o meio 2 tem \varepsilon_{r2}=4,0. Sabemos que o vetor campo elétrico incidente \boldsymbol{E}_1 forma ângulo \theta_1=30^\circ com a normal à superfície. Queremos achar o ângulo \theta_2 que \boldsymbol{E}_2 (no meio 2) forma com essa mesma normal. Para isso, usaremos as condições de contorno em dielétricos, que envolvem a continuidade da componente tangencial de \boldsymbol{E} e da componente normal de \boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}.

Passo 2

Decompondo \boldsymbol{E}_1 em componentes normal e tangencial à superfície:
E_{1n}=E_1\cos\theta_1 \quad,\quad E_{1t}=E_1\sin\theta_1
com \theta_1=30^\circ, logo
E_{1n}=E_1\cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}E_1, \quad E_{1t}=E_1\sin30^\circ=\tfrac12E_1.

Passo 3

Pelas condições de contorno em dielétricos:
  1. continuidade da componente tangencial de \boldsymbol{E}:
E_{2t}=E_{1t}.
  1. continuidade da componente normal de \boldsymbol{D}:
\varepsilon_1\,E_{1n} =\varepsilon_2\,E_{2n} \quad\Longrightarrow\quad E_{2n} =\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\,E_{1n}.
Como \varepsilon_i=\varepsilon_0\varepsilon_{ri}, basta usar \varepsilon_{r1}/\varepsilon_{r2}=9/4.

Passo 4

Substituindo em E_{2n}:
E_{2n} =\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}\,E_{1n} =\frac{9}{4}\,\frac{\sqrt{3}}{2}E_1 =\frac{9\sqrt{3}}{8}\,E_1.
E já temos E_{2t}=E_{1t}=\tfrac12E_1.

Passo 5

O ângulo \theta_2 de \boldsymbol{E}_2 com a normal satisfaz
\tan\theta_2 =\frac{E_{2t}}{E_{2n}} =\frac{\tfrac12E_1}{\tfrac{9\sqrt{3}}{8}E_1} =\frac{4}{9\sqrt{3}} =\frac{4\sqrt{3}}{27}.
Portanto
\theta_2 =\arctan\!\biggl(\frac{4}{9\sqrt{3}}\biggr) \approx14,4^\circ.

Resposta

O campo \boldsymbol{E}_2 forma cerca de 14,4^\circ com a normal da superfície.

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