Uma amostra de gás ideal se expande de pressão e volume iniciais correspondentes a 32atm e 1,0L, respectivamente, para um volume final de 4,0L. A temperatura inicial do gás era 300K. Quais serão a pressão e temperatura finais desse gás e quanto trabalho ele realizará durante a expansão, se esta expansão for: (b) adiabática e o gás monoatômico ideal
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a pressão final, a temperatura final e o trabalho realizado por um gás ideal monoatômico que se expande de forma adiabática. Estamos trabalhando com Termodinâmica, especificamente com processos adiabáticos em gases ideais. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e as equações que descrevem processos adiabáticos, além de entender um pouco sobre como calcular o trabalho nesse tipo de processo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma expansão adiabática. Em uma expansão adiabática, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0 $. Isso significa que toda a energia envolvida no processo está relacionada apenas ao trabalho realizado pelo gás.
Passo 3
Sabemos que para um gás ideal monoatômico, a capacidade térmica a volume constante ($ C_V $) é dada por:
onde $ R $ é a constante dos gases ideais.
Passo 4
Em processos adiabáticos, usamos a relação:
onde $ \gamma $ (gama) é o coeficiente adiabático, que para um gás monoatômico é:
pois $ C_P = C_V + R $.
Passo 5
Vamos usar essa relação para encontrar a pressão final ($ P_2 $). Sabemos que:
Podemos rearranjar para encontrar $ P_2 $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando a pressão final:
Então:
Calculando $ 0,25^{5/3} $:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos calcular a temperatura final ($ T_2 $). Em um processo adiabático, a relação entre as temperaturas e volumes é:
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando a temperatura final:
Portanto:
Passo 9
Por último, vamos calcular o trabalho realizado durante a expansão adiabática. A fórmula para o trabalho em um processo adiabático é:
Já temos $ P_1 = 32,atm $, $ V_1 = 1,0,L $, $ P_2 \approx 3,2768,atm $ e $ V_2 = 4,0,L $. E $ \gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} $.
Passo 10
Primeiro, convertemos as pressões para a mesma unidade, se necessário. Mas aqui manteremos em atm⋅L para simplificar, sabendo que:
Calculando o numerador:
Então:
Convertendo para joules:
Resposta
A pressão final do gás é aproximadamente $ 3,28,atm $, a temperatura final é cerca de $ 119,K $, e o trabalho realizado durante a expansão adiabática é aproximadamente $ 2873,J $.