Um gás ideal sofre uma compressão adiabática de pi=1,0 atm, Vi=1,0 times 10^6 L, Ti= 0^circ C para pf=1,0 times 10^5 atm, Vf=163 L. (a) Qual a razão entre calores específicos à pressão e a volume constante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gás ideal que passa por uma compressão adiabática. O que isso significa? Em uma compressão adiabática, o gás é comprimido sem troca de calor com o ambiente. A gente precisa encontrar a razão entre os calores específicos a pressão constante ( Cp) e a volume constante ( Cv), que é representada por $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $. Para resolver isso, vamos usar a relação que existe em processos adiabáticos para gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do processo adiabático para um gás ideal:
pi Vi^gamma = pf Vf^gamma
Aqui, $ p_i $ e $ V_i $ são a pressão e o volume iniciais, enquanto $ p_f $ e $ V_f $ são a pressão e o volume finais. Nosso objetivo é encontrar $ \gamma $.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no exercício na equação:
(1,0 , atm) times (1,0 times 10^6 , L)^gamma = (1,0 times 10^5 , atm) times (163 , L)^gamma

Passo 4

Para facilitar, vamos dividir os dois lados da equação por $ 1,0 , atm $ e reescrever a equação:
1,0 , atm
Agora, vamos isolar $ \gamma $. Para isso, vamos dividir os dois lados por $ (163 , L)^\gamma $:
(1,0 times 10^6 , L)^gamma = (1,0 times 10^5 , atm) times (163 , L)^gamma

Passo 5

Vamos resolver a expressão dentro do parêntese:
1,0 times 10^6163 approx 6135,95
Então, a equação fica:
(6135,95)^gamma = 1,0 times 10^5
Para encontrar $ \gamma $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
gamma
Usando a propriedade $ \ln(a^b) = b \ln(a) $:
ln( (6135,95)^gamma ) = ln(1,0 times 10^5)
Agora, calculando os logaritmos:
ln(a^b) = b ln(a)

Passo 6

Finalmente, isolamos $ \gamma $:
gamma

Resposta

A razão entre os calores específicos a pressão constante e a volume constante é aproximadamente 1,32.

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