Considere um disco de espessura desprezível, carregado em sua superfície com uma densidade superficial de cargas
, constante. Calcular V em um ponto do eixo do disco, situado a uma distancia z do seu centro. Refazer os cálculos para o caso de uma arruela (disco com um furo no centro) de raio interno
e externo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física sobre eletrostática. O problema fala de um disco fininho, sem espessura, carregado com uma densidade superficial de carga constante, chamada σ. A gente precisa calcular o potencial elétrico V em um ponto que está no eixo do disco, a uma distância z do centro. Depois, vamos refazer esses cálculos para uma arruela, que é como um disco com um furo no meio, com raio interno $ R_{1} $ e raio externo $ R_{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto no espaço é uma medida da energia potencial elétrica que uma carga de teste teria nesse ponto. Para calcular o potencial devido a uma distribuição de carga, usamos a fórmula:
Aqui, $ dq $ é um elemento de carga, $ r $ é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial, e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
No nosso caso, a carga está distribuída uniformemente no disco, então podemos expressar $ dq $ em termos da densidade superficial de carga σ e de uma área diferencial $ dA $:
Como o disco é circular, faz sentido usar coordenadas polares para integrar. Então, a área diferencial em coordenadas polares é:
Aqui, $ r $ é a distância do centro do disco até o elemento de área diferencial.
Passo 4
Agora, precisamos expressar $ r $ na fórmula do potencial. O ponto onde estamos calculando o potencial está no eixo do disco, a uma distância z do centro. A distância total do elemento de carga até esse ponto é dada pelo teorema de Pitágoras:
Então, substituindo na fórmula do potencial:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Essa integral vai de 0 ao raio do disco $ R $. Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Deixe $ u = r^2 + z^2 $, então $ du = 2r , dr $, ou seja, $ r , dr = \frac{du}{2} $.
Passo 6
Substituindo na integral:
A integral de $ u^{-1/2} $ é $ 2u^{1/2} $, então:
Passo 7
Esse é o potencial elétrico no ponto a uma distância z do centro do disco. Agora, vamos refazer os cálculos para uma arruela, que tem um furo com raio interno $ R_{1} $ e raio externo $ R_{2} $. A ideia é que fazemos a diferença entre o potencial da parte externa e o potencial da parte interna (o furo).
Passo 8
Usando a mesma abordagem, o potencial para a arruela será:
Resposta
O potencial elétrico no ponto a uma distância z do centro do disco é:
E para a arruela com raio interno $ R_{1} $ e raio externo $ R_{2} $, o potencial é: