Considere uma casca esférica de raio interno
e externo
, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
.
calcular o potencial elétrico em todo o espaço, para pontos
com:
calcular o potencial elétrico em todo o espaço, para pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma casca esférica com dois raios, $ R_1 $ (interior) e $ R_2 $ (exterior), feita de material isolante e com uma densidade de carga uniforme $ \rho $. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico $ V $ em pontos onde a distância do centro $ r $ é maior que $ R_2 $, ou seja, $ r > R_2 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico $ E $ para pontos fora da casca, ou seja, onde $ r > R_2 $. Como a casca é esférica e a carga está distribuída uniformemente, podemos usar a Lei de Gauss, que facilita bastante nesse tipo de simetria.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico $ \Phi_E $ através de uma superfície fechada é igual à carga total $ Q_{total} $ dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $:
Como estamos considerando uma esfera gaussiana de raio $ r > R_2 $, todo o conteúdo de carga da casca está dentro dessa superfície.
Passo 4
Vamos calcular a carga total $ Q_{total} $ da casca. A densidade volumétrica de carga $ \rho $ significa que a carga está distribuída por volume. A casca tem um volume $ V $ dado pela diferença entre o volume da esfera de raio $ R_2 $ e o de raio $ R_1 $:
Então, a carga total é:
Passo 5
Agora, usando a Lei de Gauss, temos que o campo elétrico $ E $ fora da casca é equivalente ao campo de uma carga pontual $ Q_{total} $ no centro. Portanto, o campo elétrico para $ r > R_2 $ é:
Substituindo $ Q_{total} $:
Passo 6
Agora que temos o campo elétrico, podemos encontrar o potencial elétrico $ V $. A relação entre o campo elétrico e o potencial é dada por:
Para encontrar $ V® $, integramos o campo elétrico:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos calculando o potencial para $ r > R_2 $ e geralmente consideramos $ V(\infty) = 0 $, a constante $ C $ será zero.
Passo 7
Substituindo $ E $ na integral:
Integrando:
Resposta
O potencial elétrico para pontos com $ r > R_2 $ é dado por: