Uma amostra de gás ideal se expande de pressão e volume iniciais correspondentes a 32atm e 1,0L, respectivamente, para um volume final de 4,0L. A temperatura inicial do gás era 300K. Quais serão a pressão e temperatura finais desse gás e quanto trabalho ele realizará durante a expansão, se esta expansão for adiabática e o gás diatômico ideal ( CV=5 R / 2 )?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um gás ideal diatômico (com CV = tfrac52R) sofre uma expansão adiabática saindo de
  • Pressão inicial P1 = 32 atm
  • Volume inicial V1 = 1,0 L
    até um volume final V2 = 4,0 L, começando com temperatura T1 = 300 K.
    A gente precisa achar:
  1. Pressão final P2
  2. Temperatura final T2
  3. Trabalho realizado W
    Conteúdo: termodinâmica de gases ideais, processo adiabático. Vamos usar a lei dos gases ideais e as relações P,V^gamma=const e T,V^gamma-1=const, além da fórmula de trabalho em adiabático.

Passo 2

Primeiro, calculamos o expoente adiabático gamma. Sabemos que
CV=tfrac52R,, CP=CV+R=tfrac52R+R=tfrac72R,
Logo
gamma=CPCV=tfrac72Rtfrac52R=75=1,4,

Passo 3

Relação P,V^gamma=const
$$P_1V_1\gamma=P_2V_2\gamma\quad\Longrightarrow\quad
P_2=P_1\Bigl(\frac{V_1}{V_2}\Bigr)^{!\gamma},. P1V1^gamma=P2V2^gammaLongrightarrow P2=P1l(V1V2r)^!gamma, P_2=32atm\times\Bigl(\tfrac{1{,}0}{4{,}0}\Bigr)^{1{,}4}
=32\times(0{,}25)^{1{,}4}\approx4{,}6atm,. $$

Passo 4

Para a temperatura, usamos T,V^gamma-1=const:
$$T_1V_1{\gamma-1}=T_2V_2{\gamma-1}
;\Longrightarrow;T_2=T_1\Bigl(\tfrac{V_1}{V_2}\Bigr)^{!\gamma-1},. T1V1^gamma-1=T2V2^gamma-1 ;Longrightarrow;T2=T1l(tfracV1V2r)^!gamma-1, T_2=300K\times(0{,}25)^{0{,}4}\approx300\times0{,}574\approx172K,. $$

Passo 5

Pra calcular o trabalho, vamos precisar do número de mols n. Pela lei dos gases ideais:
$$P_1V_1=nR,T_1
;\Longrightarrow;n=\frac{P_1V_1}{R,T_1},. P1V1=nR,T1 ;Longrightarrow;n=P1V1R,T1, ³óóãP_1=32,atm=32\times1,013\times10^5Pa,\quad
V_1=1{,}0L=1{,}0\times10^{-3}m^3,$$
$$n\approx\frac{(32\times1,013\times105)\times10{-3}}{8,314\times300}
\approx1,30mol,. $$

Passo 6

No processo adiabático, a primeira lei vira Q=0implies De. Como De, temos
W=n,CV,(T1-T2),
Substituindo CV=tfrac52R, napprox1,30,mol, T1=300,K, T2approx172,K:
$$W\approx1{,}30\times\frac52\times8{,}314\times(300-172)
\approx3{,}45\times10^3J,. $$

Resposta

Pressão final P2approx4,6 atm,
temperatura final T2approx172 K,
trabalho realizado Wapprox3,45times10^3 J.

Exercícios relacionados