Uma amostra de gás ideal de 1 mol é mantida a 1^{\circ} \mathrm{C} durante uma expansão de 3 litros para 10 litros (1 litro =10^{-3} m^{3}). (a 1,0) Quanto trabalho é realizado sobre o gás durante a expansão? (b 0,5) Que transferência de energia por calor ocorre entre o gás e seu entorno nesse processo cíclico? (c 1,0) Se o gás volta a seu volume original por meio de um processo isobárico, quanto trabalho é realizado sobre o gás?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de gás ideal de 1 mol mantida a 1^\circ\mathrm{C} ( T=274{,}15\:\mathrm{K}) que se expande isoter-micamente de V_1=3\:\mathrm{L} para V_2=10\:\mathrm{L} ( 1\:\mathrm{L}=10^{-3}\:\mathrm{m}^3). Em seguida, o gás retorna ao volume inicial por um processo isobárico. Precisamos:
– (a) calcular o trabalho realizado sobre o gás na expansão isoterma;
– (b) determinar a transferência de calor nesse processo (isoterma);
– (c) calcular o trabalho realizado sobre o gás na compressão isobárica de V_2 a V_1.

Passo 2

Para a expansão isoterma, usamos a convenção “trabalho sobre o gás”
W_{\rm on} = -\int_{V_1}^{V_2} P\,dV
e, como P=\dfrac{nRT}{V},
W_{\rm on} = -nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = -nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.
Substituindo n=1, R=8{,}314\:\mathrm{J/(mol\,K)}, T=274{,}15\:\mathrm K, V_1=3\times10^{-3}\:\mathrm m^3, V_2=10\times10^{-3}\:\mathrm m^3,
W_{\rm on} = -\bigl(1\cdot8{,}314\cdot274{,}15\bigr)\ln\frac{10}{3} \approx -2\,747\:\mathrm J.

Passo 3

Numa transformação isoterma de gás ideal, \Delta U=0. Pela primeira lei,
\Delta U = Q_{\rm on} + W_{\rm on},
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Q_{\rm on} = -W_{\rm on} \approx +2\,747\:\mathrm J.
Isto significa que 2{,}75\:\mathrm{kJ} de calor entram no gás.

Passo 4

No retorno isobárico de V_2 a V_1, a pressão é a que ficou após a isoterma,
P = \frac{nRT}{V_2} = \frac{1\cdot8{,}314\cdot274{,}15}{10\times10^{-3}} \approx2{,}28\times10^5\:\mathrm{Pa}.
O trabalho sobre o gás nessa compressão é
W_{\rm on} = -P\,(V_1 - V_2) = P\,(V_2 - V_1) =2{,}28\times10^5\cdot7\times10^{-3} \approx1\,596\:\mathrm J.

Resposta

(a) W_{\rm on}\approx -2{,}75\times10^3\:\mathrm J.
(b) Q_{\rm on}\approx +2{,}75\times10^3\:\mathrm J.
(c) W_{\rm on}\approx +1{,}60\times10^3\:\mathrm J.

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