Uma amostra de um gás ideal sofre uma expansão de uma pressão e volume iniciais de 32 atm e 1,0 L para um volume final de 4,0 L. A temperatura inicial é 300 K . Se o gás é monoatômico e a expansão é adiabática, determine pf.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um gás ideal monoatômico que está expandindo de um volume inicial de 1,0 litro com uma pressão inicial de 32 atm e uma temperatura inicial de 300 K. A expansão é adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente, e queremos descobrir qual será a pressão final quando o volume chegar a 4,0 litros. Para resolver isso, vamos usar as relações das transformações adiabáticas para gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação adiabática. Numa expansão adiabática, o gás não troca calor com o ambiente, então toda a energia interna muda apenas por causa do trabalho realizado. A equação que descreve essa transformação é $ p \times V^\gamma = constante $, onde $ \gamma $ (gama) é a razão entre os calores específicos $ C_p $ e $ C_v $.

Passo 3

Como estamos lidando com um gás monoatômico, sabemos que os calores específicos são:
Cv = 32 R
Cp = 52 R
Portanto, $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2 R}{3/2 R} = \frac{5}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação adiabática:
pi times Vi^gamma = pf times Vf^gamma
Queremos encontrar $ p_f $, então rearranjamos a equação:
pf

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos:
pf = 32 , atm times ( 1,0 , L4,0 , L )^5/3
Primeiro calculamos a razão dos volumes:
1,04,0 = 0,25
Então:
pf = 32 , atm times (0,25)^5/3

Passo 6

Calculando $ (0,25)^{5/3} $:
Primeiro, sabemos que $ 0,25 = \frac{1}{4} $, então:
(0,25)^5/3
Calculando isso:
0,25 = 14
Então:
( 14 )^5/3 = ( 4^-1 )^5/3 = 4^-5/3

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo valor inicial da pressão:
pf = 32 , atm times 0,0992 approx 3,174 , atm

Resposta

A pressão final $ p_f $ é aproximadamente 3,17 atm.

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