Considere um choque frontal entre duas bolinhas, como esquematizado abaixo à esquerda (as massas tem os valores m1= 1 kg ; m2=6 kg e os módulos das velocidades são v1=5 m / s ; v2=1 m / s ):
a) Supondo que a colisão é elástica (a energia mecânica se conserva), calcule as velocidades após o choque.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos duas bolinhas colidindo de frente. As massas são m1 = 1,kg e m2 = 6,kg. As velocidades antes da colisão são v1 = 5,m/s e v2 = 1,m/s. Queremos descobrir as velocidades delas depois da colisão, sabendo que é uma colisão elástica. Isso significa que tanto a quantidade de movimento quanto a energia mecânica são conservadas. Vamos precisar usar essas duas leis para encontrar as velocidades finais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. A quantidade de movimento total antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento total depois da colisão. A fórmula da quantidade de movimento é:
m1v1 + m2v2 = m1v'1 + m2v'2
Onde v'1 e v'2 são as velocidades das bolinhas após a colisão.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética, já que a colisão é elástica. A energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois da colisão. A fórmula é:
12m1v1^2 + 12m2v2^2 = 12m1v'1^2 + 12m2v'2^2

Passo 4

Vamos simplificar as equações. Primeiro, da conservação da quantidade de movimento:
1 times 5 + 6 times 1 = 1 times v'1 + 6 times v'2
Isso fica:
5 + 6 = v'1 + 6v'2 11 = v'1 + 6v'2 (Equação 1) çã

Passo 5

Agora, da conservação da energia cinética:
12(1)(5)^2 + 12(6)(1)^2 = 12(1)v'1^2 + 12(6)v'2^2
Simplificando:
12(25) + 12(6) = 12v'1^2 + 3v'2^2 12.5 + 3 = 0.5v'1^2 + 3v'2^2 15.5 = 0.5v'1^2 + 3v'2^2 (Equação 2) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. v'1 + 6v'2 = 11
  2. 0.5v'1^2 + 3v'2^2 = 15.5
Vamos resolver a Equação 1 para v'1:
v'1 = 11 - 6v'2

Passo 7

Substituímos v'1 na Equação 2:
0.5(11 - 6v'2)^2 + 3v'2^2 = 15.5
Vamos expandir (11 - 6v'2)^2:
(11)^2 - 2 times 11 times 6v'2 + (6v'2)^2 = 121 - 132v'2 + 36v'2^2
Substituindo de volta:
0.5(121 - 132v'2 + 36v'2^2) + 3v'2^2 = 15.5 60.5 - 66v'2 + 18v'2^2 + 3v'2^2 = 15.5 21v'2^2 - 66v'2 + 60.5 = 15.5
Subtraindo 15.5 de ambos os lados:
21v'2^2 - 66v'2 + 45 = 0

Passo 8

Agora, resolvemos a equação quadrática:
21v'2^2 - 66v'2 + 45 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
7v'2^2 - 22v'2 + 15 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
v'2 = 22 pm raiz(-22)^2 - 4 times 7 times 152 times 7 v'2 = 22 pm raiz484 - 42014 v'2 = 22 pm raiz6414 v'2 = 22 pm 814
Isso nos dá duas soluções:
  1. v'2 = 22 + 814 = 3014 approx 2.14,m/s
  2. v'2 = 22 - 814 = 1414 = 1,m/s

Passo 9

Agora, substituímos v'2 de volta na Equação 1 para encontrar v'1.
Para v'2 approx 2.14,m/s:
v'1 = 11 - 6 times 2.14 approx 11 - 12.86 approx -1.86,m/s
Para v'2 = 1,m/s:
v'1 = 11 - 6 times 1 = 11 - 6 = 5,m/s

Resposta

As velocidades após a colisão são aproximadamente v'1 approx -1.86,m/s e v'2 approx 2.14,m/s. O sinal negativo indica que a bolinha 1 inverteu a direção após a colisão.

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