Uma amostra gasosa é aquecida em um recipiente rígido. Ao receber 325 J de calor, sua temperatura aumenta de 22,0^{\circ} \mathrm{C} para 25,5^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que a amostra contém 1,80 \mathrm{~mol} de gás, calcule o valor de \boldsymbol{\Delta} \mathbf{U} e determine o valor de \mathbf{C v} \boldsymbol{,} \mathbf{m}.

Passo 1

O enunciado informa que uma amostra gasosa, em um recipiente rígido, recebe 325\\ \text{J} de calor e que sua temperatura sobe de 22,0^\circ\text{C} para 25,5^\circ\text{C}. A amostra contém 1,80\\ \text{mol} de gás. As perguntas são: calcular \Delta U e determinar o valor de C_{v,\text{m}} (capacidade calorífica molar a volume constante).
Dados relevantes listados:
q = 325\\ \text{J},\qquad T_i = 22,0^\circ\text{C},\qquad T_f = 25,5^\circ\text{C},\qquad n = 1,80\\ \text{mol}.
O recipiente é rígido (volume constante).

Passo 2

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica. Vou explicar devagarinho o que isso significa: a Primeira Lei diz que a variação da energia interna \Delta U de um sistema é a soma do calor q fornecido ao sistema e do trabalho w feito sobre o sistema:
\Delta U = q + w.
Aqui q é o calor trocado com o ambiente (positivo se entra calor) e w é o trabalho feito sobre o sistema (positivo se o ambiente faz trabalho sobre o sistema). Para trabalho de expansão/compressão usamos w = -P_{\text{ext}}\Delta V. Como o recipiente é rígido, o volume não muda: \Delta V = 0. Portanto w = 0. Conclusão importante:
\Delta U = q \quad\text{(para processo a volume constante)}.

Passo 3

Calculo de \Delta U. Pelo passo anterior, no nosso caso:
\Delta U = q = 325\\ \text{J}.
Observação sobre o sinal: o calor foi fornecido à amostra, então \Delta U é positivo — a energia interna aumentou.

Passo 4

Agora vamos definir a capacidade calorífica molar a volume constante C_{v,\text{m}}. A definição (didática) é: C_{v,\text{m}} é a quantidade de energia necessária para aumentar a temperatura de 1 mol do sistema em 1\\ \text{K} a volume constante. Para variações finitas (quando a capacidade não depende fortemente da temperatura no intervalo) usamos a relação aproximada:
\Delta U = n\,C_{v,\text{m}}\,\Delta T,
onde
  • \Delta U é a variação da energia interna (em joules),
  • n é o número de mols,
  • C_{v,\text{m}} é a capacidade molar a volume constante (em \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura em kelvins.
    Rearranjando para C_{v,\text{m}}:
C_{v,\text{m}} = \frac{\Delta U}{n\,\Delta T}.

Passo 5

Calcular \Delta T. Lembre que uma variação em graus Celsius é numericamente igual à variação em kelvins, então:
\Delta T = T_f - T_i = 25,5^\circ\text{C} - 22,0^\circ\text{C} = 3,5\\ \text{K}.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula de C_{v,\text{m}}. Já temos \Delta U = 325\\ \text{J}, n = 1,80\\ \text{mol} e \Delta T = 3,5\\ \text{K}. Então:
C_{v,\text{m}} = \frac{325\\ \text{J}}{1,80\\ \text{mol}\times 3,5\\ \text{K}}.
Calcule o produto do denominador:
1,80\times 3,5 = 6,3\\ \text{mol}\cdot\text{K}.
Agora a divisão:
C_{v,\text{m}} = \frac{325}{6,3}\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1} \approx 51,6\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
Sobre algarismos significativos: os dados têm tipicamente três algarismos significativos, então apresentar C_{v,\text{m}} com três algarismos (ou seja, 51,6) é apropriado.

Passo 7

Interpretação breve (para você na prova): o valor obtido de C_{v,\text{m}} \approx 51,6\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1} é o que a amostra efetivamente apresentou nas condições do experimento. Note que esse valor é maior do que os valores típicos de gases ideais monoatômicos ou diatômicos ( \tfrac{3}{2}R ou \tfrac{5}{2}R; lembrando que R\approx 8,314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}), o que pode indicar que no experimento parte do calor aqueceu também o recipiente, ou que o gás não se comportou como ideal, ou ainda que há outros graus de liberdade ativados. Mas para a resolução pedida (usar a primeira lei e a definição de C_{v,\text{m}}), os cálculos acima bastam.

Resposta

\Delta U = 325\\ \text{J}
C_{v,\text{m}} = 51,6\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}

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