Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto A com velocidade \mathbf{v}_{\mathbf{o}}. Calcule a velocidade do carro no ponto C. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho.

Passo 1

O enunciado diz: Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto A com velocidade \mathbf{v}_{\mathbf{o}}. Calcule a velocidade do carro no ponto C. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O carro parte do ponto A com velocidade inicial \mathbf{v}_{\mathbf{o}}. Vou denotar a magnitude dessa velocidade por v_0, ou seja v_0 = \|\mathbf{v}_{\mathbf{o}}\|.
  • O movimento ocorre sem atrito (logo não há perda de energia mecânica por dissipação).
  • O carro permanece no trilho o tempo todo (logo forças normais não fazem trabalho tangencial).
  • O enunciado pede a velocidade no ponto C; não foram dadas alturas numéricas nem distâncias no enunciado que você mandou. Como não posso pedir informações adicionais, vou expressar a velocidade de C em função das alturas dos pontos: denoto por h_A a altura do ponto A e por h_C a altura do ponto C medidas em relação à mesma referência vertical (qualquer referência fixa serve).
O objetivo, portanto, é obter v_C (a velocidade em C) em termos de v_0, h_A, h_C e da aceleração da gravidade g.

Passo 2

Qual é a ideia física (a “fórmula” que vamos usar)?
Como não há atrito nem outras forças não conservativas fazendo trabalho, a energia mecânica total do sistema (energia cinética + energia potencial gravitacional) é conservada. Vou explicar isso com calma.
Energia cinética:
K = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa do carro (tratado como partícula) e v é a velocidade escalar.
Energia potencial gravitacional (para pequenas velocidades/alturas típicas da Terra):
U = m g h,
onde g é a aceleração da gravidade (aprox. g = 9{,}8\\ \text{m/s}^2) e h é a altura vertical medida a partir de uma referência arbitrária.
Por que podemos usar conservação de energia aqui? Porque a força normal do trilho é sempre perpendicular ao deslocamento instantâneo do carro (assumindo que o trilho não realiza trabalho tangencial), e não há atrito. Logo, nenhuma força não conservativa faz trabalho, e a energia mecânica total se mantém constante.

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia entre os pontos A e C:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 + m g h_A = \tfrac{1}{2} m v_C^2 + m g h_C.
Agora vou explicar cada termo: à esquerda, \tfrac{1}{2} m v_0^2 é a energia cinética inicial no ponto A e m g h_A é a energia potencial no ponto A. À direita, \tfrac{1}{2} m v_C^2 é a energia cinética no ponto C que queremos achar, e m g h_C é a potencial no ponto C.

Passo 4

Simplificações e resolução algébrica (passo a passo):
  1. Note que m aparece em todos os termos; cancela-se. Isso significa que a velocidade obtida não depende da massa do carro.
  2. Subtraindo m g h_C e dividindo por \tfrac{1}{2}m, ou fazendo as manipulações comuns, obtemos:
\tfrac{1}{2} v_0^2 + g h_A = \tfrac{1}{2} v_C^2 + g h_C.
Multiplicando tudo por 2 para ficar mais direto:
v_0^2 + 2 g h_A = v_C^2 + 2 g h_C.
Isolando v_C^2:
v_C^2 = v_0^2 + 2 g (h_A - h_C).
Tomando raiz positiva (velocidade escalar é não negativa):
v_C = \sqrt{\,v_0^2 + 2 g (h_A - h_C)\,}.
Aqui h_A-h_C é a diferença de altura: se h_A>h_C o carro desceu e ganhou velocidade; se h_C>h_A o carro subiu e perdeu velocidade.

Passo 5

Interpretação e casos especiais (para você usar na prova):
  • Forma alternativa usando a variação de altura \Delta h = h_A - h_C:
v_C = \sqrt{\,v_0^2 + 2 g \Delta h\,}.
  • Se \Delta h>0 (C está mais baixo que A) então v_C>v_0.
  • Se \Delta h<0 (C está mais alto que A) então v_C<v_0; se a quantidade dentro da raiz ficar negativa, significa que com a energia disponível o carro não alcança o ponto C (ele teria parado antes).
  • Use g \approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2 ou g \approx 10\\ \text{m/s}^2 para estimativas rápidas sem calculadora.
Exemplo numérico rápido (apenas para treinar): se v_0=0, h_A=20\\ \text{m} e h_C=5\\ \text{m},
v_C=\sqrt{0+2\cdot 9{,}8\cdot(20-5)}=\sqrt{294}\approx 17{,}15\\ \text{m/s}.

Passo 6

Resumo didático e dica de prova:
  • Sempre identifique se há forças não conservativas (aqui: não, por “sem atrito”) — isso permite usar conservação de energia.
  • Defina alturas com referência comum; não importa qual referência, desde que seja a mesma para h_A e h_C.
  • Cuidado com o sinal de (h_A-h_C): ganho de altura reduz velocidade.
  • Em questões semelhantes, se pedirem velocidade num ponto e derem apenas diferença de altura, aplique diretamente a fórmula final e evite contas desnecessárias.

Resposta

v_C = \sqrt{\,v_0^2 + 2 g (h_A - h_C)\,}

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