Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto A com velocidade
. Calcule a velocidade do carro no ponto C. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho.
Passo 1
O enunciado diz: Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto A com velocidade
. Calcule a velocidade do carro no ponto C. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- O carro parte do ponto A com velocidade inicial
. Vou denotar a magnitude dessa velocidade por , ou seja . - O movimento ocorre sem atrito (logo não há perda de energia mecânica por dissipação).
- O carro permanece no trilho o tempo todo (logo forças normais não fazem trabalho tangencial).
- O enunciado pede a velocidade no ponto C; não foram dadas alturas numéricas nem distâncias no enunciado que você mandou. Como não posso pedir informações adicionais, vou expressar a velocidade de
em função das alturas dos pontos: denoto por a altura do ponto e por a altura do ponto medidas em relação à mesma referência vertical (qualquer referência fixa serve).
O objetivo, portanto, é obter
(a velocidade em
) em termos de
,
,
e da aceleração da gravidade
.
Passo 2
Qual é a ideia física (a “fórmula” que vamos usar)?
Como não há atrito nem outras forças não conservativas fazendo trabalho, a energia mecânica total do sistema (energia cinética + energia potencial gravitacional) é conservada. Vou explicar isso com calma.
Como não há atrito nem outras forças não conservativas fazendo trabalho, a energia mecânica total do sistema (energia cinética + energia potencial gravitacional) é conservada. Vou explicar isso com calma.
Energia cinética:
onde
é a massa do carro (tratado como partícula) e
é a velocidade escalar.
Energia potencial gravitacional (para pequenas velocidades/alturas típicas da Terra):
onde
é a aceleração da gravidade (aprox.
) e
é a altura vertical medida a partir de uma referência arbitrária.
Por que podemos usar conservação de energia aqui? Porque a força normal do trilho é sempre perpendicular ao deslocamento instantâneo do carro (assumindo que o trilho não realiza trabalho tangencial), e não há atrito. Logo, nenhuma força não conservativa faz trabalho, e a energia mecânica total se mantém constante.
Passo 3
Escrevendo a conservação de energia entre os pontos
e
:
Agora vou explicar cada termo: à esquerda,
é a energia cinética inicial no ponto
e
é a energia potencial no ponto
. À direita,
é a energia cinética no ponto
que queremos achar, e
é a potencial no ponto
.
Passo 4
Simplificações e resolução algébrica (passo a passo):
- Note que
aparece em todos os termos; cancela-se. Isso significa que a velocidade obtida não depende da massa do carro. - Subtraindo
e dividindo por , ou fazendo as manipulações comuns, obtemos:
Multiplicando tudo por
para ficar mais direto:
Isolando
:
Tomando raiz positiva (velocidade escalar é não negativa):
Aqui
é a diferença de altura: se
o carro desceu e ganhou velocidade; se
o carro subiu e perdeu velocidade.
Passo 5
Interpretação e casos especiais (para você usar na prova):
- Forma alternativa usando a variação de altura
:
- Se
(C está mais baixo que A) então . - Se
(C está mais alto que A) então ; se a quantidade dentro da raiz ficar negativa, significa que com a energia disponível o carro não alcança o ponto C (ele teria parado antes). - Use
ou para estimativas rápidas sem calculadora.
Exemplo numérico rápido (apenas para treinar): se
,
e
,
Passo 6
Resumo didático e dica de prova:
- Sempre identifique se há forças não conservativas (aqui: não, por “sem atrito”) — isso permite usar conservação de energia.
- Defina alturas com referência comum; não importa qual referência, desde que seja a mesma para
e . - Cuidado com o sinal de
: ganho de altura reduz velocidade. - Em questões semelhantes, se pedirem velocidade num ponto e derem apenas diferença de altura, aplique diretamente a fórmula final e evite contas desnecessárias.