Obtenha a Equação de Schroedinger partindo da energia total mecânica e dos operadores momento e energia.
Passo 1
O enunciado pede: a partir da expressão da energia total mecânica e dos operadores de momento e energia, obter a equação de Schrödinger. Dados explícitos que vamos usar:
- A energia mecânica total clássica para uma partícula não relativística (num potencial) é dada por
- Os operadores fornecidos são o operador momento em representação espacial
e o operador energia . - A incógnita sobre a qual esses operadores agem é a função de onda
(não foi dada, mas vamos introduzi‑la como objeto sobre o qual os operadores atuam).
O objetivo é substituire por seus operadores e obter a equação que relaciona com , e .
Passo 2
Entendendo por que usamos operadores e o que eles fazem (aula rápida e intuitiva).
- Em mecânica quântica a informação sobre a partícula é codificada na função de onda
. Medidas de grandezas (energia, momento, posição…) são associadas a operadores que atuam sobre . - Para motivar as formas
e usamos a onda plana de De Broglie como exemplo simples: - Considere a função de onda tipo onda plana
onde é amplitude, vetor de onda e frequência angular. - A relação de De Broglie liga
e por . A relação de Planck liga e por .
- Agora veja como derivadas agem nessa onda plana:
- Gradiente:
Multiplicando por obtemos Isso mostra que gera o valor do momento quando aplicado a um autêntico autovetor de momento (a onda plana) — por isso adotamos . - Derivada temporal:
Multiplicando por obtemos Assim adotamos . - Observação: essas escolhas garantem que, sobre estados que são autovalores (ondas planas), os operadores entregam os valores físicos clássicos
e . Isso é a ponte entre a teoria de ondas e as quantidades clássicas.
Passo 3
Aplicando a substituição clássica → operadores na expressão da energia.
- A regra prescrita é: substituir
por e por e fazer o operador agir sobre . Escrevemos então:
- Agora explico cada termo:
-
. -
significa o produto escalar . Em representação espacial, , onde é o laplaciano (soma das segundas derivadas espaciais). -
é o potencial; como operador ele atua multiplicando por (ou seja, é um operador multiplicativo).
-
- Substituindo esses explicitamente obtemos:
Essa é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula num potencial arbitrário
.
Passo 4
Comentando a forma final e significado físico básico.
- Definimos o operador Hamiltoniano
como
de forma que a equação de Schrödinger fica compacta:
- Interpretação rápida e prática:
- É uma equação de evolução temporal da função de onda: dado
num instante, dita como evolui no tempo. - A equação é linear (superposição vale) e é de primeira ordem em tempo e de segunda ordem em coordenadas espaciais (por causa do laplaciano).
-
pode depender de e de ; se for independente do tempo temos um caso particular importante (seguinte passo).
- É uma equação de evolução temporal da função de onda: dado
Passo 5
Derivando a equação de Schrödinger independente do tempo (caso estacionário) por separação de variáveis.
- Suponha
(potencial independente do tempo) e procure soluções separáveis da forma
- Substituindo na equação dependente do tempo:
- Divida ambos os lados por
:
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
; portanto ambos devem ser iguais a uma constante que chamamos de
(energia).
- Assim temos duas equações:
- Equação temporal:
- Equação espacial (autovalores do Hamiltoniano):
Essa última é a equação de Schrödinger independente do tempo (ou estacionária). Aqui aparece como autovalor associado ao autovetor espacial .
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a intuição: partícula livre em 1D (
).
- Para
e 1 dimensão, a equação dependente do tempo é
- A onda plana
satisfaz essa equação se a dispersão for
com
. Isso mostra consistência: a substituição clássica→operadores reproduz a relação energética esperada para a onda plana (autovalores).
Passo 7
Recapitulando e anotando pontos práticos para a prova (rapidinho e motivador).
- Substituir
e na energia clássica é o passo central. - Lembre-se de que
. - Se pedirem, escreva tanto a forma dependente do tempo (equação de evolução) quanto a forma independente do tempo (equação de autovalores).
- Você consegue decorar a forma final e, em prova, justificar rapidamente com o argumento da onda plana (ponto-chave que eu uso sempre: derivada de
dá e , daí vêm os fatores e ). Força aí — com isso dá pra resolver a maior parte das questões básicas.