Obtenha a Equação de Schroedinger partindo da energia total mecânica e dos operadores momento e energia.

Passo 1

O enunciado pede: a partir da expressão da energia total mecânica e dos operadores de momento e energia, obter a equação de Schrödinger. Dados explícitos que vamos usar:
  • A energia mecânica total clássica para uma partícula não relativística (num potencial) é dada por E=\frac{p^{2}}{2m}+V(\mathbf{r},t).
  • Os operadores fornecidos são o operador momento em representação espacial \hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla e o operador energia \hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.
  • A incógnita sobre a qual esses operadores agem é a função de onda \psi(\mathbf{r},t) (não foi dada, mas vamos introduzi‑la como objeto sobre o qual os operadores atuam).
    O objetivo é substituir E e \mathbf{p} por seus operadores e obter a equação que relaciona \psi(\mathbf{r},t) com V, m e \hbar.

Passo 2

Entendendo por que usamos operadores e o que eles fazem (aula rápida e intuitiva).
  • Em mecânica quântica a informação sobre a partícula é codificada na função de onda \psi(\mathbf{r},t). Medidas de grandezas (energia, momento, posição…) são associadas a operadores que atuam sobre \psi.
  • Para motivar as formas \hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla e \hat{E}=i\hbar\partial_{t} usamos a onda plana de De Broglie como exemplo simples:
    • Considere a função de onda tipo onda plana
    \psi(\mathbf{r},t)=A\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},onde A é amplitude, \mathbf{k} vetor de onda e \omega frequência angular.
    • A relação de De Broglie liga \mathbf{p} e \mathbf{k} por \mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}. A relação de Planck liga E e \omega por E=\hbar\omega.
  • Agora veja como derivadas agem nessa onda plana:
    • Gradiente:
    \nabla\psi(\mathbf{r},t)=i\mathbf{k}\,\psi(\mathbf{r},t).Multiplicando por -i\hbar obtemos -i\hbar\nabla\psi(\mathbf{r},t)=\hbar\mathbf{k}\,\psi(\mathbf{r},t)=\mathbf{p}\,\psi(\mathbf{r},t).Isso mostra que -i\hbar\nabla gera o valor do momento quando aplicado a um autêntico autovetor de momento (a onda plana) — por isso adotamos \hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla.
    • Derivada temporal:
    \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)=-i\omega\,\psi(\mathbf{r},t).Multiplicando por i\hbar obtemos i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)=\hbar\omega\,\psi(\mathbf{r},t)=E\,\psi(\mathbf{r},t).Assim adotamos \hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.
  • Observação: essas escolhas garantem que, sobre estados que são autovalores (ondas planas), os operadores entregam os valores físicos clássicos E e \mathbf{p}. Isso é a ponte entre a teoria de ondas e as quantidades clássicas.

Passo 3

Aplicando a substituição clássica → operadores na expressão da energia.
  • A regra prescrita é: substituir E por \hat{E} e \mathbf{p} por \hat{\mathbf{p}} e fazer o operador agir sobre \psi(\mathbf{r},t). Escrevemos então:
\hat{E}\,\psi(\mathbf{r},t)=\left(\frac{\hat{\mathbf{p}}^{2}}{2m}+V(\mathbf{r},t)\right)\psi(\mathbf{r},t).
  • Agora explico cada termo:
    • \hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.
    • \hat{\mathbf{p}}^{2} significa o produto escalar \hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}. Em representação espacial, \hat{\mathbf{p}}^{2} = (-i\hbar\nabla)\cdot(-i\hbar\nabla) = -\hbar^{2}\nabla^{2}, onde \nabla^{2} é o laplaciano (soma das segundas derivadas espaciais).
    • V(\mathbf{r},t) é o potencial; como operador ele atua multiplicando \psi por V (ou seja, é um operador multiplicativo).
  • Substituindo esses explicitamente obtemos:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathbf{r},t)\right)\psi(\mathbf{r},t).
Essa é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula num potencial arbitrário V(\mathbf{r},t).

Passo 4

Comentando a forma final e significado físico básico.
  • Definimos o operador Hamiltoniano \hat{H} como
\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathbf{r},t),
de forma que a equação de Schrödinger fica compacta:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)=\hat{H}\,\psi(\mathbf{r},t).
  • Interpretação rápida e prática:
    • É uma equação de evolução temporal da função de onda: dado \psi num instante, \hat{H} dita como \psi evolui no tempo.
    • A equação é linear (superposição vale) e é de primeira ordem em tempo e de segunda ordem em coordenadas espaciais (por causa do laplaciano).
    • V(\mathbf{r},t) pode depender de \mathbf{r} e de t; se for independente do tempo temos um caso particular importante (seguinte passo).

Passo 5

Derivando a equação de Schrödinger independente do tempo (caso estacionário) por separação de variáveis.
  • Suponha V(\mathbf{r},t)=V(\mathbf{r}) (potencial independente do tempo) e procure soluções separáveis da forma
\psi(\mathbf{r},t)=\varphi(\mathbf{r})\,T(t).
  • Substituindo na equação dependente do tempo:
i\hbar\,\varphi(\mathbf{r})\frac{dT}{dt}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})\right)T(t).
  • Divida ambos os lados por \varphi(\mathbf{r})T(t):
i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}=\frac{1}{\varphi}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi+V\varphi\right).
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de \mathbf{r}; portanto ambos devem ser iguais a uma constante que chamamos de E (energia).
  • Assim temos duas equações:
    • Equação temporal:
    i\hbar\frac{dT}{dt}=E\,T \quad\Rightarrow\quad T(t)=e^{-iEt/\hbar} \\ (\text{até uma constante multiplicativa}).é
    • Equação espacial (autovalores do Hamiltoniano):
    -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})=E\,\varphi(\mathbf{r}).Essa última é a equação de Schrödinger independente do tempo (ou estacionária). Aqui E aparece como autovalor associado ao autovetor espacial \varphi(\mathbf{r}).

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a intuição: partícula livre em 1D ( V=0).
  • Para V=0 e 1 dimensão, a equação dependente do tempo é
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t).
  • A onda plana \psi(x,t)=A\,e^{i(kx-\omega t)} satisfaz essa equação se a dispersão for
\hbar\omega=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\quad\Leftrightarrow\quad E=\frac{p^{2}}{2m},
com p=\hbar k. Isso mostra consistência: a substituição clássica→operadores reproduz a relação energética esperada para a onda plana (autovalores).

Passo 7

Recapitulando e anotando pontos práticos para a prova (rapidinho e motivador).
  • Substituir E\to i\hbar\partial_{t} e \mathbf{p}\to -i\hbar\nabla na energia clássica é o passo central.
  • Lembre-se de que \hat{\mathbf{p}}^{2}=-\hbar^{2}\nabla^{2}.
  • Se pedirem, escreva tanto a forma dependente do tempo (equação de evolução) quanto a forma independente do tempo (equação de autovalores).
  • Você consegue decorar a forma final e, em prova, justificar rapidamente com o argumento da onda plana (ponto-chave que eu uso sempre: derivada de e^{i(kx-\omega t)} k e \omega, daí vêm os fatores -i\hbar e i\hbar). Força aí — com isso dá pra resolver a maior parte das questões básicas.

Resposta

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathbf{r},t)\right)\psi(\mathbf{r},t)
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})=E\,\varphi(\mathbf{r})

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