Uma haste cilíndrica de alumínio de 1,14 \mathrm{~m} de comprimento e diâmetro 1,50 \mathrm{~cm} é isolada e não perde energia através da sua superfície. Uma das extremidades é mantida em contato com uma mistura de água e vapor no ponto de ebulição; a outra extremidade está em contato com um reservatório contendo uma mistura de mercúrio sólido e líquido na sua temperatura de fusão ( 234 K ).
A condutividade térmica do alumínio é 235 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}) e o calor de fusão do mercúrio é 11,4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.
(a) A que taxa o calor é conduzido através da haste?
Resposta: □
(b) A que taxa o mercúrio derrete na extremidade fria?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A que taxa o calor é conduzido através da haste (ou seja, a potência térmica \dot{Q} que atravessa a haste).
  2. (b) A que taxa o mercúrio derrete na extremidade fria (ou seja, a massa por unidade de tempo \dot{m} que sofre fusão).
Informações fornecidas (vou escrevê-las em unidades SI):
\begin{aligned} &\text{comprimento: } L = 1,14\\ \mathrm{m},\\\ &\text{diâmetro: } d = 1,50\\ \mathrm{cm} = 0,015\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio: } r = \frac{d}{2} = 0,0075\\ \mathrm{m},\\\ &\text{condutividade térmica do alumínio: } k = 235\\ \mathrm{W/(m\;K)},\\\ &\text{calor latente de fusão do mercúrio: } L_f = 11,4\\ \mathrm{kJ/kg} = 11400\\ \mathrm{J/kg},\\\ &\text{extremidade quente: água + vapor no ponto de ebulição} \Rightarrow T_h = 373\\ \mathrm{K}\\ (\text{assumindo pressão atmosférica}),\\\ &\text{extremidade fria: mercúrio na temperatura de fusão } T_c = 234\\ \mathrm{K}. \end{aligned}âéíãúáçããéúã
Temperatura diferença:
\Delta T = T_h - T_c = 373\\ \mathrm{K} - 234\\ \mathrm{K} = 139\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (aula rápida e prática):
  • O calor conduzido em regime estacionário por uma barra homogênea, sem geração interna e com extremidades a temperaturas fixas, é dado pela Lei de Fourier na forma simplificada:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{T_h - T_c}{L},
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de calor (potência térmica) em \mathrm{W} (ou \mathrm{J/s}),
  • k é a condutividade térmica do material (aqui do alumínio) em \mathrm{W/(m\;K)},
  • A é a área da seção transversal da haste em \mathrm{m}^2,
  • T_h e T_c são as temperaturas das extremidades em \mathrm{K},
  • L é o comprimento da haste em \mathrm{m}.
Explicando pedaço a pedaço: a condutividade k diz quão bom é o material em transportar calor; a área A mostra quanto “espaço” para o calor passar; a diferença de temperatura cria o gradiente que “empurra” o calor; e dividir por L mostra que quanto maior o caminho, menor a taxa (mais resistência térmica).
Próximo passo: calcular a área A.

Passo 3

Cálculo da área da seção circular da haste:
A = \pi r^2 = \pi (0,0075\\ \mathrm{m})^2 = \pi \times 5,625\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
Numérica:
A \approx 3{,}1416 \times 5{,}625\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2 \approx 1{,}767\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Agora aplicamos a lei de Fourier:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L}.
Substituindo os valores (vou mostrar passo a passo):
k\,A \approx 235\\ \mathrm{W/(m\;K)} \times 1{,}767\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 \approx 0{,}04153\\ \mathrm{W/K}.
Multiplicando pela diferença de temperatura:
kA\,\Delta T \approx 0{,}04153\\ \mathrm{W/K} \times 139\\ \mathrm{K} \approx 5{,}772\\ \mathrm{W}.
Dividindo pelo comprimento:
\dot{Q} \approx \frac{5{,}772\\ \mathrm{W}}{1{,}14\\ \mathrm{m}} \approx 5{,}06\\ \mathrm{W}.
Interpretação: cerca de 5{,}06\\ \mathrm{J} por segundo atravessam a haste — não é muito (a haste é fina e longa), mas é a potência disponível para fundir o mercúrio.

Passo 4

Agora vamos transformar essa potência em taxa de fusão de massa do mercúrio.
Conceito: para fundir massa \Delta m de mercúrio é necessário fornecer a energia \Delta Q = L_f\,\Delta m, onde L_f é o calor latente de fusão em \mathrm{J/kg}. Se a potência disponível é \dot{Q} (energia por segundo), a massa que se funde por segundo é:
\dot{m} = \frac{\dot{Q}}{L_f}.
Variáveis:
  • \dot{m} é a taxa de fusão em \mathrm{kg/s},
  • \dot{Q} é a potência de calor em \mathrm{W},
  • L_f é o calor latente de fusão em \mathrm{J/kg}.
Substituindo:
\dot{m} = \frac{5{,}06\\ \mathrm{W}}{11400\\ \mathrm{J/kg}} \approx 4{,}44\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s}.
Para uma ideia mais intuitiva:
4{,}44\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s} = 0{,}444\\ \mathrm{g/s}.
Em termos por hora:
\dot{m}_{\text{(por hora)}} = 4{,}44\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s} \times 3600\\ \mathrm{s/h} \approx 1{,}60\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

Resumo numérico com arredondamento apropriado e dimensão:
  • Taxa de condução de calor \dot{Q} \approx 5{,}06\\ \mathrm{W}.
  • Taxa de fusão \dot{m} \approx 4{,}44\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s} (que é 0{,}444\\ \mathrm{g/s}, ou cerca de 1{,}60\\ \mathrm{kg/h}).
Observações finais rápidas e encorajamento: a ordem de grandeza faz sentido — uma haste metálica fina e relativamente longa conduz apenas alguns watts entre temperaturas tão divergentes. Você já está indo bem; respira fundo e reveja os passos de fórmula e unidades — é praticamente isso que costuma cair em prova.

Resposta

(a) \dot{Q}\approx 5{,}06\\ \mathrm{W}
(b) \dot{m}\approx 4{,}44\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s}

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