Uma haste cilíndrica de alumínio de
de comprimento e diâmetro
é isolada e não perde energia através da sua superfície. Uma das extremidades é mantida em contato com uma mistura de água e vapor no ponto de ebulição; a outra extremidade está em contato com um reservatório contendo uma mistura de mercúrio sólido e líquido na sua temperatura de fusão ( 234 K ).
A condutividade térmica do alumínio é
e o calor de fusão do mercúrio é
.
(a) A que taxa o calor é conduzido através da haste?
Resposta: □
(b) A que taxa o mercúrio derrete na extremidade fria?
Resposta: □
A condutividade térmica do alumínio é
(a) A que taxa o calor é conduzido através da haste?
(b) A que taxa o mercúrio derrete na extremidade fria?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A que taxa o calor é conduzido através da haste (ou seja, a potência térmica
que atravessa a haste). - (b) A que taxa o mercúrio derrete na extremidade fria (ou seja, a massa por unidade de tempo
que sofre fusão).
Informações fornecidas (vou escrevê-las em unidades SI):
Temperatura diferença:
Passo 2
Conceito e fórmula usada (aula rápida e prática):
- O calor conduzido em regime estacionário por uma barra homogênea, sem geração interna e com extremidades a temperaturas fixas, é dado pela Lei de Fourier na forma simplificada:
onde:
-
é a taxa de calor (potência térmica) em (ou ), -
é a condutividade térmica do material (aqui do alumínio) em , -
é a área da seção transversal da haste em , -
e são as temperaturas das extremidades em , -
é o comprimento da haste em .
Explicando pedaço a pedaço: a condutividade
diz quão bom é o material em transportar calor; a área
mostra quanto “espaço” para o calor passar; a diferença de temperatura cria o gradiente que “empurra” o calor; e dividir por
mostra que quanto maior o caminho, menor a taxa (mais resistência térmica).
Próximo passo: calcular a área
.
Passo 3
Cálculo da área da seção circular da haste:
Numérica:
Agora aplicamos a lei de Fourier:
Substituindo os valores (vou mostrar passo a passo):
Multiplicando pela diferença de temperatura:
Dividindo pelo comprimento:
Interpretação: cerca de
por segundo atravessam a haste — não é muito (a haste é fina e longa), mas é a potência disponível para fundir o mercúrio.
Passo 4
Agora vamos transformar essa potência em taxa de fusão de massa do mercúrio.
Conceito: para fundir massa
de mercúrio é necessário fornecer a energia
, onde
é o calor latente de fusão em
. Se a potência disponível é
(energia por segundo), a massa que se funde por segundo é:
Variáveis:
-
é a taxa de fusão em , -
é a potência de calor em , -
é o calor latente de fusão em .
Substituindo:
Para uma ideia mais intuitiva:
Em termos por hora:
Passo 5
Resumo numérico com arredondamento apropriado e dimensão:
- Taxa de condução de calor
. - Taxa de fusão
(que é , ou cerca de ).
Observações finais rápidas e encorajamento: a ordem de grandeza faz sentido — uma haste metálica fina e relativamente longa conduz apenas alguns watts entre temperaturas tão divergentes. Você já está indo bem; respira fundo e reveja os passos de fórmula e unidades — é praticamente isso que costuma cair em prova.
Resposta
(a)
(b)
(b)